9.3. Докажите, что функция: 1) f(x) = 3x - 5 возрастает на R... 9.4. Используя определение возрастания и убывания функции на множестве, докажите, что функция: 4) y = 3x / (3-x) возрастает на множестве (3; +inf). Постройте график этой функции.

Для доказательства монотонности по определению будем использовать следующее: функция называется возрастающей, если для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, и убывающей, если $f(x_1) > f(x_2)$. **9.3. Докажите, что функция:** 1) $f(x) = 3x - 5$. Пусть $x_1 < x_2$. Умножим на 3: $3x_1 < 3x_2$. Вычтем 5: $3x_1 - 5 < 3x_2 - 5 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Функция возрастает на $\mathbb{R}$. 2) $f(x) = 4 - 2x$. Пусть $x_1 < x_2$. Умножим на $-2$ (знак меняется): $-2x_1 > -2x_2$. Прибавим 4: $4 - 2x_1 > 4 - 2x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$. Функция убывает на $\mathbb{R}$. 3) $f(x) = 3x^2 - 5$. На $[0; +\infty)$ для $0 \le x_1 < x_2$ имеем $x_1^2 < x_2^2$, значит $3x_1^2 - 5 < 3x_2^2 - 5$. Функция возрастает. 4) $f(x) = 1 - x^2$. На $[0; +\infty)$ для $0 \le x_1 < x_2$ имеем $x_1^2 < x_2^2$, тогда $-x_1^2 > -x_2^2$, значит $1 - x_1^2 > 1 - x_2^2$. Функция убывает. **9.4. Используя определение, докажите, что функция:** 1) $y = \frac{3}{x-2}$. Пусть $x_1 < x_2 < 2$. Тогда $x_1 - 2 < x_2 - 2 < 0$. При делении положительного числа 3 на меньшее по модулю отрицательное число получаем меньшее значение: $\frac{3}{x_1-2} > \frac{3}{x_2-2}$. Функция убывает. 2) $y = \frac{1}{x+3}$. Ошибка в условии учебника: функция $y = \frac{k}{x-x_0}$ при $k>0$ убывает на промежутках области определения. Проверим: $-3 < x_1 < x_2 \Rightarrow 0 < x_1+3 < x_2+3 \Rightarrow \frac{1}{x_1+3} > \frac{1}{x_2+3}$. Функция **убывает**, а не возрастает. 3) $y = \frac{2x}{x-1} = \frac{2(x-1)+2}{x-1} = 2 + \frac{2}{x-1}$. Для $x_1 < x_2 < 1$ имеем $x_1-1 < x_2-1 < 0 \Rightarrow \frac{2}{x_1-1} > \frac{2}{x_2-1} \Rightarrow 2 + \frac{2}{x_1-1} > 2 + \frac{2}{x_2-1}$. Функция убывает. 4) $y = \frac{3x}{3-x} = \frac{-3(3-x)+9}{3-x} = -3 + \frac{9}{3-x}$. Пусть $3 < x_1 < x_2$. Тогда $3-x_1 > 3-x_2$ (оба отрицательны, $|3-x_1| < |3-x_2|$). Значит $\frac{9}{3-x_1} < \frac{9}{3-x_2} \Rightarrow -3 + \frac{9}{3-x_1} < -3 + \frac{9}{3-x_2}$. Функция возрастает. :::@chart-1:::