11. а) Отметьте 7 точек и проведите 6 прямых так, чтобы на каждой из этих прямых лежали 3 отмеченные точки; б) отметьте так же 11 точек на десяти прямых.

Это классическая задача комбинаторной геометрии на расположение точек и прямых. Такие задачи решаются подбором конфигураций. а) Для 7 точек и 6 прямых, на каждой из которых лежит 3 точки: Эту конфигурацию называют «семиточечной плоскостью» или проективной плоскостью порядка 2. Представьте правильный шестиугольник с точкой в центре. - 6 точек расположены в вершинах правильного шестиугольника. - 7-я точка находится в центре. - 3 прямые проходят через центр и противоположные вершины (например, A-O-D, B-O-E, C-O-F). - 3 прямые проходят через стороны шестиугольника (это потребует невыпуклой формы или использования свойств проективной геометрии, но проще представить треугольную сетку: 3 стороны треугольника и 3 медианы). В классическом варианте решения это «проколотая» проективная плоскость. Самый простой способ нарисовать: начертите треугольник, отметьте по 2 точки на каждой стороне (всего 6) и одну точку в центре. Проведите прямые так, чтобы каждая сторона треугольника стала прямой, содержащей 3 точки, и медианы также стали прямыми. б) Для 11 точек и 10 прямых, на каждой из которых лежит 3 точки: Это задача на построение конфигурации из 11 точек и 10 прямых, где на каждой прямой по 3 точки. Это решение связано с конфигурацией Мёбиуса — Кантора, но для школьного уровня проще всего использовать следующую схему: расположите точки так, чтобы они образовали «звезду» или переплетенные треугольники, где прямые проходят через 3 точки последовательно. Часто такие задачи решаются с помощью построения «треугольника Паскаля» в геометрии или используя сетки.