В треугольнике ABC известно, что AB = 15, BC = 8, sin ∠ABC = 5/6. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение задач: 1. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$. $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{5}{6} = 15 \cdot 4 \cdot \frac{5}{6} = 60 \cdot \frac{5}{6} = 50$. Ответ: 50. 2. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$. $\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$. $AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{12} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$. Ответ: 10. 3. По теореме синусов радиус описанной окружности $R = \frac{AB}{2 \cdot \sin C}$. $R = \frac{8\sqrt{2}}{2 \cdot \sin 45^\circ} = \frac{8\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$. Ответ: 8. 4. По теореме косинусов обозначим третью сторону за $x$, стороны $a=5$, $b=21$, угол между ними $\gamma = 60^\circ$. $x^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 441 - 210 \cdot 0.5 = 466 - 105 = 361$. $x = \sqrt{361} = 19$. Ответ: 19. 5. В треугольнике сумма углов $180^\circ$. $\angle A = 180^\circ - (64^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. По теореме синусов $\frac{BC}{\sin A} = 2R$. $BC = 2R \cdot \sin A = 2 \cdot 13 \cdot \sin 30^\circ = 26 \cdot 0.5 = 13$. Ответ: 13.