15. Дано: 4 < a < 7 и 3 < b < 5. Оцените значение выражения:

Дано: $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$. 1) Оценим $a + b$: Сложим неравенства почленно: $4 + 3 < a + b < 7 + 5$ $7 < a + b < 12$ 2) Оценим $a - b$: Для вычитания $a - b = a + (-b)$. Так как $3 < b < 5$, то $-5 < -b < -3$. Сложим $4 < a < 7$ и $-5 < -b < -3$: $4 - 5 < a - b < 7 - 3$ $-1 < a - b < 4$ 3) Оценим $ab$: Так как все части неравенств положительны, умножим почленно: $4 \cdot 3 < ab < 7 \cdot 5$ $12 < ab < 35$ 4) Оценим $a/b$: $a/b = a \cdot (1/b)$. Так как $3 < b < 5$, то $1/5 < 1/b < 1/3$. $4 \cdot (1/5) < a/b < 7 \cdot (1/3)$ $0,8 < a/b < 7/3 \approx 2,33$ 5) Оценим $3a + 7b$: $3 \cdot 4 < 3a < 3 \cdot 7 \Rightarrow 12 < 3a < 21$ $7 \cdot 3 < 7b < 7 \cdot 5 \Rightarrow 21 < 7b < 35$ Сложим: $12 + 21 < 3a + 7b < 21 + 35$ $33 < 3a + 7b < 56$ 6) Оценим $2a - 5b$: $2 \cdot 4 < 2a < 2 \cdot 7 \Rightarrow 8 < 2a < 14$ $5 \cdot 3 < 5b < 5 \cdot 5 \Rightarrow 15 < 5b < 25$ $-25 < -5b < -15$ Сложим: $8 - 25 < 2a - 5b < 14 - 15$ $-17 < 2a - 5b < -1$ 7) Оценим $\frac{4b}{9a} = \frac{4}{9} \cdot \frac{b}{a}$: Сначала оценим $b/a$: так как $3 < b < 5$ и $4 < a < 7$, то $3/7 < b/a < 5/4$. Тогда $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{7} < \frac{4b}{9a} < \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4}$ $\frac{12}{63} < \frac{4b}{9a} < \frac{20}{36}$ $\frac{4}{21} < \frac{4b}{9a} < \frac{5}{9}$ 8) Оценим $\frac{0,6b - 0,2a}{0,7a - 0,1b}$: Оценим числитель и знаменатель: Числитель: $0,6b - 0,2a$. $0,6 \cdot 3 < 0,6b < 0,6 \cdot 5 \Rightarrow 1,8 < 0,6b < 3,0$ $0,2 \cdot 4 < 0,2a < 0,2 \cdot 7 \Rightarrow 0,8 < 0,2a < 1,4$ Числитель: $1,8 - 1,4 < 0,6b - 0,2a < 3,0 - 0,8 \Rightarrow 0,4 < 0,6b - 0,2a < 2,2$ Знаменатель: $0,7a - 0,1b$. $0,7 \cdot 4 < 0,7a < 0,7 \cdot 7 \Rightarrow 2,8 < 0,7a < 4,9$ $0,1 \cdot 3 < 0,1b < 0,1 \cdot 5 \Rightarrow 0,3 < 0,1b < 0,5$ Знаменатель: $2,8 - 0,5 < 0,7a - 0,1b < 4,9 - 0,3 \Rightarrow 2,3 < 0,7a - 0,1b < 4,6$ Итоговая оценка: $\frac{0,4}{4,6} < \text{выражение} < \frac{2,2}{2,3} \approx \frac{2}{23} < \text{выражение} < \frac{22}{23}$.