Question

Построить эскиз графика функции (2–9). 2. f(x) = x^3 + 3x^2 - 4. 3. f(x) = -x^3 - 3x^2 + 8.

Accepted Answer

Для построения эскизов графиков функций проанализируем каждую из них.

2. $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$
1. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$.
2. Найдем критические точки, приравняв $f'(x) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
3. Определим значения функции в критических точках:
   $f(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$ (минимум).
   $f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$ (максимум).
4. Точки пересечения с осями:
   $f(0) = -4$ (ось Oy).
   $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$. Заметим, что $x=1$ — корень ($1+3-4=0$). Делим на $(x-1)$: $(x-1)(x^2 + 4x + 4) = (x-1)(x+2)^2 = 0$. Корни: $x = 1$ и $x = -2$ (касание).
   График: проходит через $(-2, 0)$ (локальный максимум), $(0, -4)$ (локальный минимум), пересекает ось Ox в $x=1$ и касается в $x=-2$.

3. $f(x) = -x^3 - 3x^2 + 8$
1. Найдем производную: $f'(x) = -3x^2 - 6x = -3x(x + 2)$.
2. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
3. Значения функции в критических точках:
   $f(0) = 8$ (максимум).
   $f(-2) = -(-8) - 3(4) + 8 = 8 - 12 + 8 = 4$ (минимум).
4. Поведение функции: так как старший коэффициент отрицательный, график идет из $+\infty$ при $x 	o -\infty$ и уходит в $-\infty$ при $x 	o +\infty$.

:::@chart-1::: :::@chart-2:::

Построить эскиз графика функции (2–9). 2. f(x) = x^3 + 3x^2 - 4. 3. f(x) = -x^3 - 3x^2 + 8.

Ответ ассистента

Другие решения