1. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

1. Площадь параллелограмма: $S = a \cdot h = 24 \cdot 8 = 192$. 2. Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b = 9 \cdot 5 = 45$. 3. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 6 = 17 \cdot 6 = 102$. 4. Площадь трапеции: основания $a = 8$, $b = 5 + 8 + 4 = 17$, высота $h = 6$. $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+17}{2} \cdot 6 = \frac{25}{2} \cdot 6 = 25 \cdot 3 = 75$. 5. Площадь треугольника по координатам вершин $A(-1; 2), B(-1; 5), C(4; 0)$: - Длина основания $AB = |5 - 2| = 3$ (лежит на прямой $x = -1$). - Высота $h$ — это расстояние от точки $C(4; 0)$ до прямой $x = -1$: $h = |4 - (-1)| = 5$. - $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5$. 6. Площадь ромба. Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. Пусть $d_1 = 84$, тогда половина диагонали $d_1/2 = 42$. Сторона $a = 58$. Вторая половина диагонали $x = \sqrt{58^2 - 42^2} = \sqrt{(58-42)(58+42)} = \sqrt{16 \cdot 100} = 4 \cdot 10 = 40$. Вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 40 = 80$. $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 80 = 84 \cdot 40 = 3360$. 7. Прямоугольная трапеция. $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 3150\sqrt{3}$, $h = 30\sqrt{3}$. - $\frac{a+b}{2} = \frac{3150\sqrt{3}}{30\sqrt{3}} = 105 \implies a + b = 210$. - Из угла $30^{\circ}$ следует, что боковая сторона $c = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{30\sqrt{3}}{0{,}5} = 60\sqrt{3}$. Проекция боковой стороны $x = c \cdot \cos 30^{\circ} = 60\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 90$. - Большее основание $b = a + 90$. Подставим в сумму: $a + (a + 90) = 210 \implies 2a = 120 \implies a = 60$. 8. Площадь сектора: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} = \frac{\pi \cdot 21^2 \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{\pi \cdot 441}{3} = 147\pi$. В ответе нужно $\frac{S}{\pi} = 147$.