Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC = BD$). 1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. 2. В них: - $AD$ — общая сторона; - $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма); - $BD = AC$ (по условию). 3. По трем сторонам (признак равенства треугольников по трем сторонам) $\triangle ABD = \triangle ACD$. 4. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: $\angle BAD = \angle CDA$. 5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а $AD$ является секущей. Следовательно, сумма односторонних углов $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$. 6. Так как углы $\angle BAD$ и $\angle CDA$ равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. 7. Поскольку у параллелограмма один угол прямой, то все остальные углы также будут прямыми. Значит, $ABCD$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.