Вариант 1. Решите уравнения:

1. Решите уравнения: 1) $2^{2x+3} = 32$ $2^{2x+3} = 2^5$ $2x + 3 = 5$ $2x = 2$ $x = 1$ 2) $4^{x^2-10x-6} = 16$ $4^{x^2-10x-6} = 4^2$ $x^2-10x-6 = 2$ $x^2-10x-8 = 0$ $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 100 + 32 = 132$ $x = \frac{10 \pm \sqrt{132}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{33}}{2} = 5 \pm \sqrt{33}$ 3) $3^{x+1} + 3 \cdot 3^{x-2} = 27$ $3 \cdot 3^x + 3 \cdot \frac{3^x}{9} = 27$ $3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x = 27$ $3^x(3 + \frac{1}{3}) = 27$ $3^x(\frac{10}{3}) = 27$ $3^x = \frac{81}{10} = 8.1$ $x = \log_3(8.1)$ 4) $7^{-x^2+8x+20} = 4^{-x^2+8x+20}$ Делим обе части на $4^{-x^2+8x+20}$ (оно всегда > 0): $(\frac{7}{4})^{-x^2+8x+20} = 1$ $(\frac{7}{4})^{-x^2+8x+20} = (\frac{7}{4})^0$ $-x^2+8x+20 = 0$ $x^2-8x-20 = 0$ $(x-10)(x+2) = 0$ $x_1=10, x_2=-2$ 5) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 2 = -1$ $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$) $t^2 - 4t + 3 = 0$ $(t-3)(t-1) = 0$ $t=3 \Rightarrow 3^x=3^1 \Rightarrow x=1$ $t=1 \Rightarrow 3^x=3^0 \Rightarrow x=0$ 2. Решение неравенств: 1) $(\sqrt{3})^x > \frac{1}{27}$ $(3^{0.5})^x > 3^{-3}$ $0.5x > -3$ $x > -6$ 2) $3^{2x+4} > 3^{x+2}$ $2x+4 > x+2$ $x > -2$ 3) $9^{x^2+x-14} \ge \frac{1}{81}$ $9^{x^2+x-14} \ge 9^{-2}$ $x^2+x-14 \ge -2$ $x^2+x-12 \ge 0$ $(x+4)(x-3) \ge 0$ $x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$ 5) $36^x - 5 \cdot 6^x - 6 \le 0$ $(6^x)^2 - 5 \cdot 6^x - 6 \le 0$ Пусть $t = 6^x$ ($t > 0$) $t^2 - 5t - 6 \le 0$ $(t-6)(t+1) \le 0$ Так как $t > 0$, имеем $t \le 6$ $6^x \le 6^1$ $x \le 1$