Найти точки экстремума функции (12-18).

Для нахождения точек экстремума функции нужно найти её производную $y'$, приравнять её к нулю и определить критические точки, в которых меняется знак производной. 12. $y = 5x - 2$. Производная $y' = 5$. Производная не равна нулю ни при каких $x$, точек экстремума нет. 13. $y = -4x^2 + 24x - 15$. $y' = -8x + 24$. $-8x + 24 = 0 \Rightarrow x = 3$. При $x < 3$, $y' > 0$ (возрастает), при $x > 3$, $y' < 0$ (убывает). $x = 3$ — точка максимума. 14. $y = x^3 + 6x^2$. $y' = 3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = -4$. При $x = -4$ максимум, при $x = 0$ минимум. 15. $y = 6x - x^3$. $y' = 6 - 3x^2 = 3(2 - x^2)$. Корни: $x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2}$. При $x = -\sqrt{2}$ минимум, при $x = \sqrt{2}$ максимум. 16. $y = \frac{2}{x} + \frac{x}{3}$. $y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{3} = \frac{x^2 - 6}{3x^2}$. Корни: $x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$. При $x = -\sqrt{6}$ максимум, при $x = \sqrt{6}$ минимум. 17. $y = \frac{2x+3}{3-2x}$. $y' = \frac{2(3-2x) - (-2)(2x+3)}{(3-2x)^2} = \frac{6-4x+4x+6}{(3-2x)^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$. Производная всегда положительна (при $x \neq 1.5$), точек экстремума нет. 18. $y = \frac{x^3}{2x-3}$. $y' = \frac{3x^2(2x-3) - 2x^3}{(2x-3)^2} = \frac{6x^3 - 9x^2 - 2x^3}{(2x-3)^2} = \frac{4x^3 - 9x^2}{(2x-3)^2} = \frac{x^2(4x-9)}{(2x-3)^2}$. Критические точки: $x = 0$ (не меняет знак), $x = 2.25$. При $x = 2.25$ минимум.