1. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к его стороне, делящий эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

Решение задачи 1: Пусть $ABCD$ — ромб, $\angle B$ — тупой угол. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ к стороне $AD$ (точка $H$ лежит на стороне $AD$), причем $H$ — середина $AD$ ($AH = HD$). 1. В треугольнике $ABH$: $\angle AHB = 90^\circ$ (так как $BH \perp AD$). 2. Рассмотрим треугольник $ABD$: так как $AB = BD$ (свойство ромба, диагонали делят углы пополам... стоп, это неверно). Рассмотрим треугольник $ABD$. У нас $BH$ — высота и медиана в треугольнике $ABD$ (по условию $AH=HD$). Следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с $AB = BD$. Но в ромбе все стороны равны, значит $AB = AD$. Получаем, что $AB = BD = AD$, то есть треугольник $ABD$ — равносторонний. 3. Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Значит, острый угол ромба $\angle A = 60^\circ$. 4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Тупой угол $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Ответ: углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$. Решение задачи 2: Пусть $ABCD$ — ромб, сторона $AD$ образует с диагоналями $AC$ и $BD$ равные углы, т.е. $\angle CAD = \angle ADB$. 1. Диагонали ромба делят его углы пополам. Пусть диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, значит $\angle CAD = \angle CAB = \frac{1}{2} \angle A$. 2. По условию, $\angle CAD = \angle ADB$. Так как $ABCD$ — ромб, то $AD \parallel BC$, значит $\angle ADB = \angle CBD$ (накрест лежащие углы). 3. В ромбе диагонали перпендикулярны, угол между ними $90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей). В нем $\angle OAD + \angle ODA = 90^\circ$. 4. Из условия $\angle CAD = \angle ADB$ следует $\angle OAD = \angle ODA$. 5. В треугольнике $AOD$ углы при основании равны, значит, он равнобедренный: $AO = OD$. Но диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, и если $AO=OD$, то все половины диагоналей равны, значит, диагонали равны. 6. Ромб с равными диагоналями является квадратом. Ответ: Доказано.