Сумма двух углов при основании равнобедренной трапеции равна 50°. Найдите больший угол этой трапеции.

1. У равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. Пусть углы при меньшем основании равны $\alpha$, а при большем $\beta$. Так как сумма двух углов при одном основании равна 50°, то $\alpha = 50^\circ / 2 = 25^\circ$. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°, значит, больший угол равен $180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$. Ответ: 155°. 2. Пусть меньшее основание $BC = 12$, большее $AD = 27$. Опустим высоты $BH$ и $CK$ на $AD$. Тогда $HK = BC = 12$. Так как трапеция равнобедренная, $AH = KD = (AD - BC) / 2 = (27 - 12) / 2 = 15 / 2 = 7,5$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDK$, где угол $D = 60^\circ$. Тогда угол $KCD = 30^\circ$, и гипотенуза $CD = KD / \cos(60^\circ) = 7,5 / 0,5 = 15$. Боковые стороны равны, $AB = CD = 15$. Периметр $P = 12 + 27 + 15 + 15 = 69$. Ответ: 69. 3. Пусть высота из вершины $C$ опускается в точку $H$ на основании $AD$. Она делит основание на отрезки $AH$ и $HD$ (пусть $HD=3, AH=11$). Так как трапеция равнобедренная, опустим еще высоту из $B$ в точку $K$. Тогда $BC = KH = AH - KD = 11 - 3 = 8$. Ответ: 8.