Найти длину стороны BC треугольника ABC, если известны углы и длина отрезка AE.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. 1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $\angle C = 20^\circ + 50^\circ = 70^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$. Так как $\angle B = \angle C$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, а значит $AB = AC$. 2. Рассмотрим треугольник $AEC$. Известно $\angle EAC = 40^\circ$ и $\angle ECA = 50^\circ$. Тогда $\angle AEC = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ$. Значит, $AE = 2$ (по условию). В прямоугольном треугольнике $AEC$ гипотенуза $AC = \frac{AE}{\sin 50^\circ} = \frac{2}{\sin 50^\circ}$. 3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB = AC = \frac{2}{\sin 50^\circ}$. По теореме синусов для треугольника $ABC$: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$ $BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{\frac{2}{\sin 50^\circ} \cdot \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{2 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ}$. 4. Учитывая, что $\sin 40^\circ = \cos 50^\circ$, имеем: $BC = \frac{2 \cdot \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ} = \frac{2 \cdot \text{ctg } 50^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 1,78$. Ответ: $BC = \frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 50^\circ \sin 70^\circ} \approx 1,78$.