1) Решите уравнение x^4-2x^3-2x^2+2x-3=0

Допущение: Восстановлено условие: а) $(x-8)(1-4x)(x+9)(9x+1) > 0$ б) $\frac{x^3(x+3)^2(x-8)}{(x-3)^5} \ge 0$ 1) Решите уравнение: $x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x - 3 = 0$ Группируем слагаемые: $x^4 - 3 - 2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$ — не очень удобно. Попробуем по-другому: $(x^4 - 3x^2 + x^2 - 3) - 2x(x^2 - 1) = 0$ Разложим $(x^4 - 3x^2) + (x^2 - 3) - 2x^3 + 2x = 0$ $x^2(x^2-3) + (x^2-3) - 2x(x^2-1) = 0$ — не подходит. Вернемся к $(x^4 - 3x^2 + 2x^2 - 6) ...$ нет. Попробуем деление на множители: $x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x - 3 = 0$. Проверим корни $\pm 1, \pm 3$. Если $x=3$: $81 - 54 - 18 + 6 - 3 = 12 \neq 0$. Если $x=-1$: $1 + 2 - 2 - 2 - 3 = -4 \neq 0$. Если $x^4 - 3 - 2x^3 + 2x - 2x^2 = 0 (x^2-3)(x^2+1) - 2x(x^2-1) = 0$. Проще заметить $(x^2-3)(x^2+1) - 2x(x^2-1) = x^4+x^2-3x^2-3 - 2x^3+2x = x^4-2x^3-2x^2+2x-3$. Это верно. $(x^2-3)(x^2+1) - 2x(x^2-1) = 0$ не дает общего множителя. Перегруппировка: $(x^4-2x^2+1) - 2x^3+2x-4 = 0$ - тоже сложно. Заметим $(x^2+x-3)(x^2-3x+1) = x^4-3x^3+x^2+x^3-3x^2+x-3x^2+9x-3 = x^4-2x^3-5x^2+10x-3$. Не подходит. Поделим столбиком на $(x^2+1)$: $(x^4-2x^3-2x^2+2x-3) = (x^2-2x-3)(x^2+1)$. $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$. Значит: $(x-3)(x+1)(x^2+1)=0$. Корни: $x_1=3, x_2=-1$. 2) Решите неравенства методом интервалов: а) $(x-8)(1-4x)(x+9)(9x+1) > 0$ Вынесем минус из $(1-4x)$ и $(9x+1)$ для удобства: $-4(x-8)(x-0.25)(x+9)(x+\frac{1}{9}) > 0$ $(x-8)(x-0.25)(x+9)(x+\frac{1}{9}) < 0$ Корни: $-9, -\frac{1}{9}, 0.25, 8$. Интервалы: $(-\infty, -9) \cup (-\frac{1}{9}, 0.25) \cup (8, +\infty)$. б) $\frac{x^3(x+3)^2(x-8)}{(x-3)^5} \ge 0$ Корни числителя: $0$ (кратность 3), $-3$ (кратность 2), $8$ (кратность 1). Корни знаменателя: $3$ (кратность 5) — выколотая точка. Метод интервалов: При $x > 8$: $(+)/(+) > 0$ При $3 < x < 8$: $(+)/(-) < 0$ При $0 < x < 3$: $(+)/(-) < 0$ При $-3 < x < 0$: $(-)/(-) > 0$ При $x = -3$: $0 \ge 0$ (подходит) При $x < -3$: $(-)/(-) > 0$ Ответ: $(-\infty, 0] \cup [8, +\infty) \cup \{-3\}$.