5. Диагонали равнобокой трапеции ABCD (AB = CD) пересекаются в точке O. Докажите, что AO = OD и BO = OC.

Дано: трапеция $ABCD$, $AB = CD$ (равнобокая), $AC$ и $BD$ — диагонали, $O$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: $AO = OD$, $BO = OC$. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. - $AB = CD$ (по условию); - $AD$ — общая сторона; - $\angle BAD = \angle CDA$ (углы при основании равнобокой трапеции равны). 2. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ (по двум сторонам и углу между ними). 3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ADB = \angle DAC$. 4. Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $\angle ADB = \angle DAC$ (или $\angle ODA = \angle OAD$), то этот треугольник равнобедренный при основании $AD$. Значит, $AO = OD$. 5. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DCB$. - $AB = CD$ (по условию); - $BC$ — общая сторона; - $\angle ABC = \angle DCB$ (как углы при основании равнобокой трапеции). 6. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ (по двум сторонам и углу между ними). 7. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle BCA = \angle CBD$ (или $\angle OCB = \angle OBC$). 8. Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $\angle OCB = \angle OBC$, то этот треугольник равнобедренный при основании $BC$. Значит, $BO = OC$. Что и требовалось доказать.