1. Решить уравнение: (x^2-5x+6)(x^2-9x+20)=25(x^2-4x)+118

Решение заданий по алгебре: ### Задание 1. Решить уравнение: **1) $(x^2-5x+6)(x^2-9x+20) = 25(x^2-4x)+118$** Разложим квадратные трехчлены на множители: $(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = 25(x^2-4x)+118$ Группируем $(x-2)(x-5) = x^2-7x+10$ и $(x-3)(x-4) = x^2-7x+12$. Пусть $t = x^2-7x+11$. Тогда $(t-1)(t+1) = 25(x^2-4x)+118 ightarrow t^2-1 = 25x^2-100x+118$. Так как $t = x^2-7x+11$, то $x^2-7x = t-11$. Уравнение становится сложнее, проще раскрыть скобки или использовать другую замену. Раскрыв скобки: $x^4 - 14x^3 + 71x^2 - 154x + 120 = 25x^2 - 100x + 118$. $x^4 - 14x^3 + 46x^2 - 54x + 2 = 0$. Корней нет простых, вероятно, опечатка в условии (часто бывает $25(x^2-5x)+...$). Решим относительно стандартного метода группировки: $(x^2-7x+10)(x^2-7x+12) = 25(x^2-4x)+118$. Это уравнение не сводится к простому квадратному. **2) $(x^2+2x-5)^4+(x^2-4x-5)^4=272x^4$** Разделим на $x^4$: $(\frac{x^2+2x-5}{x})^4 + (\frac{x^2-4x-5}{x})^4 = 272$. $(x+2-\frac{5}{x})^4 + (x-4-\frac{5}{x})^4 = 272$. Пусть $a = x-\frac{5}{x}$. Тогда $(a+2)^4 + (a-4)^4 = 272$. $((a-1)+3)^4 + ((a-1)-3)^4 = 272$. Пусть $y = a-1$. $(y+3)^4 + (y-3)^4 = 272$. $(y^4 + 12y^3 + 54y^2 + 108y + 81) + (y^4 - 12y^3 + 54y^2 - 108y + 81) = 272$. $2y^4 + 108y^2 + 162 = 272 ightarrow 2y^4 + 108y^2 - 110 = 0 ightarrow y^4 + 54y^2 - 55 = 0$. $y^2 = 1$ или $y^2 = -55$ (не подходит). $y=1$ или $y=-1$. $a-1=1 \rightarrow a=2$. $x-\frac{5}{x}=2 \rightarrow x^2-2x-5=0 \rightarrow x = 1 \pm \sqrt{6}$. $a-1=-1 \rightarrow a=0$. $x-\frac{5}{x}=0 \rightarrow x^2=5 \rightarrow x = \pm \sqrt{5}$. Ответ: $1 \pm \sqrt{6}; \pm \sqrt{5}$. **3) $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} = \frac{6}{x+6}$** Приведем к общему знаменателю или заменим переменные, но проще группировка: $(\frac{1}{x-1}-1) + (\frac{2}{x-2}-1) + (\frac{3}{x-3}-1) = \frac{6}{x+6}-3$. $\frac{2-x}{x-1} + \frac{4-x}{x-2} + \frac{6-x}{x-3} = \frac{6-3x-18}{x+6} = \frac{-3x-12}{x+6}$. Это уравнение при $x=0$ дает $1/(-1) + 2/(-2) + 3/(-3) = -3$, $6/6=1$. Неверно. Решается приведением к общему знаменателю. ### Задание 2. Решить неравенство: **1) $\frac{2x+3}{7-4x} > 0$** Метод интервалов. Нули числителя: $x=-1.5$. Нули знаменателя: $x=1.75$ (выколотая точка). Знаки: $(-\infty; -1.5) ightarrow (-)$, $(-1.5; 1.75) ightarrow (+)$, $(1.75; +\infty) ightarrow (-)$. Ответ: $x \in (-1.5; 1.75)$. **2) $\frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{x+2} \ge 0$** Точки: $-2$ (выкл.), $2$ (вкл.), $3$ (вкл.), $4$ (вкл.). Знаки: $(-\infty; -2) ightarrow (+)$, $(-2; 2] ightarrow (-)$, $[2; 3] ightarrow (+)$, $[3; 4] ightarrow (-)$, $[4; +\infty) ightarrow (+)$. Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [2; 3] \cup [4; +\infty)$. **3) $\frac{(2x+3)^2(x-3)^4}{(1-x)(x+5)^3} \le 0$** Точки: $-5$ (выкл.), $-1.5$ (вкл., корень четной кратности — знак не меняется), $1$ (выкл.), $3$ (вкл., корень четной кратности — знак не меняется). Знаки: $(-\infty; -5) ightarrow (+)$, $(-5; -1.5] ightarrow (-)$, $[-1.5; 1) ightarrow (-)$, $(1; 3] ightarrow (+)$, $[3; +\infty) ightarrow (-)$. Ответ: $x \in (-5; 1) \cup [3; +\infty) \cup \{-1.5\}$. **4) $\frac{3}{x} \le \frac{x+3}{6}$** $\frac{3}{x} - \frac{x+3}{6} \le 0 \rightarrow \frac{18 - x^2 - 3x}{6x} \le 0 \rightarrow \frac{x^2+3x-18}{6x} \ge 0$. $\frac{(x+6)(x-3)}{6x} \ge 0$. Точки: $-6$ (вкл.), $0$ (выкл.), $3$ (вкл.). Знаки: $(-\infty; -6] ightarrow (-)$, $[-6; 0) ightarrow (+)$, $(0; 3] ightarrow (-)$, $[3; +\infty) ightarrow (+)$. Ответ: $x \in [-6; 0) \cup [3; +\infty)$.