Найдите точки минимума и максимума функции: 1) f(x) = 1/3x^3 - x; 4) f(x) = x^3/3 + 3x^2 - 7x + 4;

Для нахождения точек экстремума (минимума и максимума) функции, нужно найти производную $f'(x)$, приравнять её к нулю и определить знаки производной на интервалах. ### 1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ 1. Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$. 2. Приравняем к нулю: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. 3. Определим знаки производной: - При $x < -1$ (например, $x = -2$): $f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 > 0$ (функция возрастает). - При $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$): $f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0$ (функция убывает). - При $x > 1$ (например, $x = 2$): $f'(2) = 2^2 - 1 = 3 > 0$ (функция возрастает). 4. Смена знака с «+» на «-» в точке $x = -1$ означает, что это **точка максимума**. Смена знака с «-» на «+» в точке $x = 1$ означает, что это **точка минимума**. **Ответ:** $x_{max} = -1$, $x_{min} = 1$. ### 4) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$ 1. Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 6x - 7 = x^2 + 6x - 7$. 2. Приравняем к нулю: $x^2 + 6x - 7 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$. Корни: $x = \frac{-6 \pm 8}{2} \Rightarrow x_1 = -7, x_2 = 1$. 3. Определим знаки производной на интервалах: - При $x < -7$ (например, $x = -8$): $f'(-8) = (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0$ (функция возрастает). - При $-7 < x < 1$ (например, $x = 0$): $f'(0) = 0^2 + 6(0) - 7 = -7 < 0$ (функция убывает). - При $x > 1$ (например, $x = 2$): $f'(2) = 2^2 + 6(2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0$ (функция возрастает). 4. Смена знака с «+» на «-» в точке $x = -7$ означает, что это **точка максимума**. Смена знака с «-» на «+» в точке $x = 1$ означает, что это **точка минимума**. **Ответ:** $x_{max} = -7$, $x_{min} = 1$.