№ 1. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 21 и 35; 2) 18 и 54; 3) 68 и 102; 4) 660 и 495; 5) 32, 96 и 112.

№ 1. Найдите наибольший общий делитель (НОД): 1) 21 и 35: $21 = 3 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. НОД(21, 35) = 7. 2) 18 и 54: Так как 54 делится на 18 ($54 = 18 \cdot 3$), то НОД(18, 54) = 18. 3) 68 и 102: $68 = 2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17$, $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 6 \cdot 17$. НОД(68, 102) = $2 \cdot 17 = 34$. 4) 660 и 495: $660 = 10 \cdot 66 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$. $495 = 5 \cdot 99 = 5 \cdot 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$. НОД(660, 495) = $3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$. 5) 32, 96 и 112: $32 = 2^5$. $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$. $112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$. Наименьшая общая степень двойки — $2^4 = 16$. НОД(32, 96, 112) = 16. № 2. Пары взаимно простых чисел из {12, 15, 22, 27}: Взаимно простые числа имеют НОД, равный 1. - 12 и 15: НОД = 3 (не подходят) - 12 и 22: НОД = 2 (не подходят) - 12 и 27: НОД = 3 (не подходят) - 15 и 22: НОД = 1 (взаимно простые) - 15 и 27: НОД = 3 (не подходят) - 22 и 27: НОД = 1 (взаимно простые) Ответ: (15, 22) и (22, 27). № 3. Правильные дроби со знаменателем 30, где числитель и знаменатель — взаимно простые числа: Правильная дробь: числитель < знаменателя (значит числитель < 30). Нужно найти числа от 1 до 29, взаимно простые с 30. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Числа не должны делиться на 2, 3 и 5. Это числа: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Ответ: $\frac{1}{30}, \frac{7}{30}, \frac{11}{30}, \frac{13}{30}, \frac{17}{30}, \frac{19}{30}, \frac{23}{30}, \frac{29}{30}$.