Докажите неравенство: а) (3x - 1)(2x - 2) > x(6x - 8); б) (3b - 4)(2b + 8) < (6b - 2)(b + 3); в) 3a(a - 1) - 5a^2 < 4 - 3a; г) (2c - 6)(c - 1) > c(c - 8).

Для доказательства неравенств раскроем скобки и упростим выражения. Доказательство основано на приведении неравенства к очевидно верному виду. а) $(3x - 1)(2x - 2) > x(6x - 8)$ $6x^2 - 6x - 2x + 2 > 6x^2 - 8x$ $6x^2 - 8x + 2 > 6x^2 - 8x$ Вычтем $6x^2 - 8x$ из обеих частей: $2 > 0$ — верно при любых $x$. б) $(3b - 4)(2b + 8) < (6b - 2)(b + 3)$ $6b^2 + 24b - 8b - 32 < 6b^2 + 18b - 2b - 6$ $6b^2 + 16b - 32 < 6b^2 + 16b - 6$ Вычтем $6b^2 + 16b$ из обеих частей: $-32 < -6$ — верно. в) $3a(a - 1) - 5a^2 < 4 - 3a$ $3a^2 - 3a - 5a^2 < 4 - 3a$ $-2a^2 - 3a < 4 - 3a$ Прибавим $3a$ к обеим частям: $-2a^2 < 4$ Так как $a^2 \ge 0$, то $-2a^2 \le 0$. Отрицательное число или нуль всегда меньше положительного числа $4$. Неравенство доказано. г) $(2c - 6)(c - 1) > c(c - 8)$ $2c^2 - 2c - 6c + 6 > c^2 - 8c$ $2c^2 - 8c + 6 > c^2 - 8c$ Прибавим $8c$ к обеим частям: $2c^2 + 6 > c^2$ Перенесем $c^2$ влево: $c^2 + 6 > 0$ Так как квадрат любого числа $c^2 \ge 0$, то $c^2 + 6$ всегда положительно. Неравенство доказано.