На рисунке 5 изображён куб ABCD A1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей AD1C1 и B1BC.

1. Плоскость $AD_1C_1$ проходит через точки $A, D_1, C_1$. Плоскость $B_1BC$ проходит через точки $B_1, B, C$. Заметим, что $A_1D_1$ параллельна $B_1C_1$, а значит, и всей плоскости $B_1BC$. Прямая $D_1C_1$ является общей для плоскости $AD_1C_1$ и грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $B_1C_1$ является общей для плоскости $B_1BC$ и грани $A_1B_1C_1D_1$. Так как $AD_1$ пересекает $B_1B$ в пространстве, искомая прямая — это прямая, проходящая через точки $C_1$ и $B_1$ (так как $C_1$ принадлежит обеим плоскостям, а $B_1$ принадлежит $B_1BC$ и лежит на одной прямой с $C_1$ в грани $A_1B_1C_1D_1$), то есть $B_1C_1$. 2. Проверим точки на коллинеарность. $DE + EF = 11 + 16 = 27$. Так как сумма длин двух отрезков равна длине третьего ($DE + EF = DF$), точки $D, E, F$ лежат на одной прямой. Через одну прямую можно провести бесконечно много плоскостей. 3. В окружности с центром $O$ диаметры $AB$ и $CD$ лежат в некоторой плоскости. Плоскость $\alpha$ проходит через $A, C, O$. Прямая $AC$ принадлежит плоскости $\alpha$. Так как $O$ — центр окружности и точка пересечения диаметров $AB$ и $CD$, то $A, O, B$ лежат на одной прямой. Значит, точка $B$ лежит на прямой, проходящей через $A$ и $O$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AO$ (содержащую $A$ и $O$), то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$ (так как $B \in \alpha$ и $D \in \alpha$). 4. Прямая $MN$ лежит в плоскости грани $SAC$. Плоскость $ABC$ пересекает грань $SAC$ по прямой $AC$. Искомая точка — это точка пересечения прямой $MN$ и прямой $AC$ в плоскости треугольника $SAC$. 5. Построение сечения: 1) Проводим прямую $MK$ в плоскости грани $SAB$. 2) Так как $MK$ не параллельна $AB$, они пересекаются в некоторой точке $P$, лежащей на прямой $AB$ (прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABC$). 3) Точка $P$ принадлежит искомому сечению и плоскости основания $ABC$. 4) Соединяем $P$ и $N$. Прямая $PN$ пересекает $BC$ в точке $T$ и $AC$ в точке $Q$. 5) Искомое сечение — многоугольник $MKNT$ (или иная фигура в зависимости от взаимного расположения точек).