Задание 14. ABCD – ромб. Найдите углы α и β, используя данные рисунка.

Для решения задач на ромб $ABCD$ важно помнить его свойства: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. **1. Задача без номера (слева вверху):** Дан угол $\angle BAC = 36^\circ$. Так как диагональ $AC$ — биссектриса, то $\angle BAD = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$. Угол $\angle BCD = \angle BAD = 72^\circ$. Так как $\angle BCD = 2 \cdot \beta$, то $\beta = 72^\circ / 2 = 36^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей) угол $\alpha$ и $\angle BAC$ в сумме дают $90^\circ$. $\alpha = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. Ответ: $\alpha=54^\circ, \beta=36^\circ$. **2. Задача 5:** Дан угол $\angle BAC = 40^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABO$ угол $\alpha = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Так как диагонали перпендикулярны, $\beta$ — это угол $\angle COD = 90^\circ$ (если $\beta$ отмечен как угол между диагоналями). Но если $\beta$ — часть угла ромба, то $\beta = \angle BCD / 2 = 40^\circ$. Ответ: $\alpha=50^\circ, \beta=40^\circ$. **3. Задача 9:** Угол $\angle EAB = 80^\circ$ и $\angle CAD$ — вертикальные (если $EF$ — прямая). Значит $\angle CAD = 80^\circ$. Тогда $\beta = \angle CAD = 80^\circ$. Так как $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$, а углы ромба попарно равны, то $\alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Ответ: $\alpha=100^\circ, \beta=80^\circ$. **4. Задача без номера (слева внизу):** Дан угол $\angle ACD = 15^\circ$. Углы ромба при одной стороне в сумме дают $180^\circ$. $\angle BCD = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$. Угол $\angle ADC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. $\alpha = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. В треугольнике $\beta = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$ (если $\beta$ это угол треугольника). Ответ: $\alpha=75^\circ, \beta=75^\circ$. **5. Задача 6:** Дан угол $\angle BAC = 70^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABO$ угол $\alpha = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. Угол $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. Ответ: $\alpha=20^\circ, \beta=70^\circ$. **6. Задача 10:** В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\angle ABH = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. Так как диагональ $BD$ — биссектриса, то $\angle ABD = \angle DBC = 25^\circ$. Отсюда $\beta = 25^\circ$. $\alpha$ можно найти из треугольника $BCD$: $\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. Ответ: $\alpha=65^\circ, \beta=25^\circ$.