1. Запишите все острые углы, изображенные на рисунке 1. Сколько всего получилось углов?

1. На рисунке 1 лучи $BA, BK, BM, BC$ образуют углы. Количество углов равно количеству способов выбрать 2 луча из 4: $\frac{4 \times 3}{2} = 6$. Это углы: $\angle ABK, \angle ABM, \angle ABC, \angle KBM, \angle KBC, \angle MBC$. Все они острые. Ответ: 6 углов. 2. Диаметр $AC = 42$ см, значит, радиус $R = 21$ см. По условию $AM = MC = CK = R = 21$ см. Периметр четырехугольника $AMCK = AM + MC + CK + AC = 21 + 21 + 21 + 42 = 105$ см. Ответ: 105 см. 3. Сумма углов $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Отношение $2:3:4$ означает: $2x + 3x + 4x = 180^\circ$. $9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. $\angle 3 = 4x = 4 \times 20^\circ = 80^\circ$. Ответ: 80°. 4. Пусть $\angle BOC = x$, тогда $\angle AOC = x + 100^\circ$. $x + (x + 100^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 2x = 80^\circ \Rightarrow x = 40^\circ$ (это $\angle BOC$). $\angle AOC = 140^\circ$. Луч $OM \perp OC$, значит $\angle MOC = 90^\circ$. $\angle AOM = \angle AOC - \angle MOC = 140^\circ - 90^\circ = 50^\circ$. Ответ: 50°. 5. Расположим лучи на шкале от 0° до 60°: $BA=0^\circ, BC=60^\circ$. $\angle ABM = 50^\circ$, значит луч $BM$ на отметке $50^\circ$. $\angle KBC = 40^\circ$, значит луч $BK$ на отметке $60^\circ - 40^\circ = 20^\circ$. Биссектриса угла $ABK$ ($\angle ABK = 20^\circ$) находится на $10^\circ$. Биссектриса угла $CBM$ (между $50^\circ$ и $60^\circ$) находится на $55^\circ$. Разность: $55^\circ - 10^\circ = 45^\circ$. Ответ: 45°.