Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Для доказательства того, что параллелограмм является ромбом, воспользуемся его свойствами. а) Дано: параллелограмм ABCD, диагонали AC и BD перпендикулярны ($AC \perp BD$). Доказательство: 1. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть они пересекаются в точке O. 2. Рассмотрим треугольник AOB и треугольник COB. У них: AO = OC (свойство диагоналей параллелограмма), сторона BO общая, угол AOB = углу COB = 90° (по условию). 3. Значит, треугольники AOB и COB равны по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует AB = BC. 5. Так как у параллелограмма соседние стороны равны, то он является ромбом. б) Дано: параллелограмм ABCD, диагональ AC делит угол A пополам (угол BAC = углу DAC). Доказательство: 1. Угол DAC равен углу BCA (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). 2. Так как по условию угол BAC = угол DAC, то угол BAC = угол BCA. 3. В треугольнике ABC углы при основании AC равны, следовательно, он равнобедренный: AB = BC. 4. Так как у параллелограмма соседние стороны равны, то он является ромбом.