4. Диагонали ромба MRBT пересекаются в точке Z. Найдите углы треугольника MZR, если ∠RBT = 64°.

### Решение задачи 4 В ромбе $MRBT$ диагонали пересекаются под прямым углом, значит, $\angle MZR = 90^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle RBZ = \angle RBT / 2 = 64^\circ / 2 = 32^\circ$. В прямоугольном треугольнике $MZR$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Так как $\angle MRZ = \angle RBZ = 32^\circ$ (накрест лежащие углы при параллельных сторонах), то $\angle RMZ = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$. **Ответ:** Углы треугольника $MZR$ равны $90^\circ, 58^\circ, 32^\circ$. ### Решение задачи 5 Периметр ромба $RNKS$ равен $240$, значит, сторона $NK = 240 / 4 = 60$. В прямоугольном треугольнике $NMK$ (где $\angle NMK = 90^\circ$, так как $NM$ — высота) известны гипотенуза $NK = 60$ и катет $NM = 30$. Так как катет $NM$ в два раза меньше гипотенузы $NK$, то противолежащий ему угол $NKM = 30^\circ$. Тогда $\angle KNM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как $NM$ — высота из тупого угла $N$, то $\angle KNM$ является частью угла $N$. Однако, в ромбе высота из тупого угла делит угол на два, один из которых равен $90^\circ - \text{острый угол}$. Значит, $\angle N = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, а $\angle NKS = 60^\circ$. **Ответ:** $\angle NKS = 60^\circ$. ### Решение задачи 6 Пусть $\angle KRX = x$. Тогда $\angle RHK = 13x$. В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то есть $\angle R + \angle K = 180^\circ$. Однако в условии сказано про угол $X$ и угол $KRX$. Очевидно, что $KRX$ — это угол, образованный диагональю $KX$. Диагональ $KX$ делит угол $R$ пополам. То есть $\angle R = 2 \cdot \angle KRX = 2x$. Тогда угол $H$ (противоположный $R$) тоже $2x$. Угол $K$ (и противоположный ему угол $X$) равен $180^\circ - 2x$. Из условия: угол $X$ в 13 раз больше угла $KRX$. Значит, $180^\circ - 2x = 13x$. $180^\circ = 15x$ $x = 12^\circ$. Тогда углы ромба: $2x = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$ и $180^\circ - 24^\circ = 156^\circ$. **Ответ:** Углы ромба равны $24^\circ$ и $156^\circ$.