1.Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($AD \parallel BC$, $AD > BC$). Перпендикуляр из вершины $B$ (тупой угол) на $AD$ делит $AD$ на отрезки длиной 10 и 4. Так как трапеция равнобедренная, перпендикуляры из вершин $B$ и $C$ на большее основание отсекают по краям равные отрезки. Меньший отрезок равен $(AD - BC) / 2 = 4$, а больший — $(AD + BC) / 2 = 10$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = (AD + BC) / 2$. По условию, больший отрезок, который отсекает перпендикуляр, и есть полусумма оснований (средняя линия). Ответ: 10. 2. Пусть основания трапеции равны $2x$ и $3x$. Средняя линия равна полусумме оснований: $(2x + 3x) / 2 = 5$. Решим уравнение: $5x / 2 = 5$, откуда $5x = 10$, следовательно $x = 2$. Меньшее основание равно $2x = 2 \cdot 2 = 4$. Ответ: 4. 3. Пусть основания трапеции $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$. Периметр $P = a + b + 2c = 80$. Средняя линия $m = (a + b) / 2$, значит $a + b = 2m$. По условию, средняя линия равна боковой стороне, то есть $m = c$. Подставим это в формулу периметра: $2m + 2c = 80$. Так как $m = c$, получаем $2c + 2c = 80$, $4c = 80$, $c = 20$. Ответ: 20.