f(x)=-4x²+7x [-2;2]

Для разложения функции $f(x) = -4x^2 + 7x$ на интервале $[-2, 2]$ в ряд Фурье, перейдем к общей формуле ряда на интервале $[-L, L]$, где $L=2$. Ряд Фурье имеет вид: $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}))$ Здесь $L = 2$, поэтому $\omega = \frac{\pi}{L} = \frac{\pi}{2}$. 1. Коэффициент $a_0$: $a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} (-4x^2 + 7x) dx = \frac{1}{2} [-\frac{4x^3}{3} + \frac{7x^2}{2}]_{-2}^{2}$ $a_0 = \frac{1}{2} ((-\frac{4 \cdot 8}{3} + \frac{7 \cdot 4}{2}) - (-\frac{4 \cdot (-8)}{3} + \frac{7 \cdot 4}{2}))$ $a_0 = \frac{1}{2} ((-\frac{32}{3} + 14) - (\frac{32}{3} + 14)) = \frac{1}{2} (-\frac{64}{3}) = -\frac{32}{3}$. 2. Коэффициенты $a_n$: $a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} (-4x^2 + 7x) \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx$ Так как $(-4x^2)$ — четная функция, а $7x$ — нечетная, интеграл распадается: $a_n = \frac{1}{2} (-4 \int_{-2}^{2} x^2 \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx + 7 \int_{-2}^{2} x \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx)$ Второй интеграл (нечетная функция на симметричном интервале) равен 0. Для первого интеграла интегрируем по частям дважды: $a_n = -2 \cdot 2 \int_{0}^{2} x^2 \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx = -4 [\frac{2x^2}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2}) + \frac{8x}{n^2\pi^2} \cos(\frac{n\pi x}{2}) - \frac{16}{n^3\pi^3} \sin(\frac{n\pi x}{2})]_0^2$ $a_n = -4 [0 + \frac{16}{n^2\pi^2} \cos(n\pi) - 0] = -\frac{64(-1)^n}{n^2\pi^2}$. 3. Коэффициенты $b_n$: $b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} (-4x^2 + 7x) \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx$ Первый интеграл (четная * нечетная = нечетная) равен 0. $b_n = \frac{7}{2} \int_{-2}^{2} x \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = 7 \int_{0}^{2} x \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx$ Интегрируем по частям: $b_n = 7 [-\frac{2x}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{2}) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin(\frac{n\pi x}{2})]_0^2 = 7 [-\frac{4}{n\pi} \cos(n\pi) + 0] = -\frac{28(-1)^n}{n\pi}$. Ответ: $f(x) \sim -\frac{16}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} [-\frac{64(-1)^n}{n^2\pi^2} \cos(\frac{n\pi x}{2}) - \frac{28(-1)^n}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2})]$.