«Арифметический корень натуральной степени»

1. Найдите значение выражения: а) $0,4 : \frac{3}{10} = \frac{4}{10} : \frac{3}{10} = \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ б) $\frac{9,4}{4,1 + 5,3} = \frac{9,4}{9,4} = 1$ 2. Вычислите: а) $\sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{256} = \frac{1}{3} + \sqrt[3]{-\frac{64}{27}} + 4 = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} + 4 = -\frac{3}{3} + 4 = -1 + 4 = 3$ б) $\sqrt[6]{3^7 \cdot 4^5} \cdot \sqrt[6]{3^5 \cdot 4} = \sqrt[6]{3^7 \cdot 3^5 \cdot 4^5 \cdot 4} = \sqrt[6]{3^{12} \cdot 4^6} = 3^2 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ в) $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{8} = (\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5}) \cdot (\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}) = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[4]{16} = 5 \cdot 2 = 10$ г) $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$ 3. Упростите выражение: а) $\sqrt[7]{\frac{128z^3}{\sqrt[4]{z^{12}}}} = \sqrt[7]{\frac{128z^3}{z^3}} = \sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2^7} = 2$ б) $\frac{\sqrt[81]{\sqrt[7]{b}}}{\sqrt[14]{b}} = \frac{b^{1/7}}{b^{1/14}} = b^{1/7 - 1/14} = b^{2/14 - 1/14} = b^{1/14} = \sqrt[14]{b}$ в) $(x^{-\frac{7}{2}}y^6) : (x^{-\frac{11}{4}}y^{\frac{2}{3}}) = x^{-\frac{7}{2} - (-\frac{11}{4})} \cdot y^{6 - \frac{2}{3}} = x^{-\frac{14}{4} + \frac{11}{4}} \cdot y^{\frac{18}{3} - \frac{2}{3}} = x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{16}{3}}$ 4. Найдите корень уравнения: $-1 + 2x = 10x + 3$ $2x - 10x = 3 + 1$ $-8x = 4$ $x = 4 / (-8) = -0,5$ 5. Упростите выражение: $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 2\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$ Воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ $(\sqrt[4]{x})^2 - (2\sqrt[4]{y})^2 + 2\sqrt[8]{y^{7-3}} = \sqrt{x} - 4\sqrt{y} + 2\sqrt[8]{y^4} = \sqrt{x} - 4\sqrt{y} + 2\sqrt{y} = \sqrt{x} - 2\sqrt{y}$