Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если

Для решения треугольника нужно найти все его стороны и углы. Используем теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. **а)** Дано: $c = AB = 5 \text{ см}$, $b = AC = 7,5 \text{ см}$, $\angle A = 135^\circ$. 1. Найдем сторону $a = BC$: $a^2 = 5^2 + 7,5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7,5 \cdot \cos 135^\circ$ $a^2 = 25 + 56,25 - 75 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 81,25 + 37,5\sqrt{2} \approx 81,25 + 53,03 = 134,28$ $a = BC = \sqrt{134,28} \approx 11,59 \text{ см}$. 2. Найдем углы по теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7,5 \cdot \sin 135^\circ}{11,59} = \frac{7,5 \cdot 0,707}{11,59} \approx 0,457 \Rightarrow \angle B \approx 27,2^\circ$. 3. $\angle C = 180^\circ - 135^\circ - 27,2^\circ = 17,8^\circ$. **б)** Дано: $c = AB = 2\sqrt{2} \text{ дм}$, $a = BC = 3 \text{ дм}$, $\angle B = 45^\circ$. 1. Найдем сторону $b = AC$: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ $b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$ $b^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17 - 12 = 5$ $b = AC = \sqrt{5} \approx 2,24 \text{ дм}$. 2. Найдем углы: $\sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{3 \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot 0,707}{2,24} \approx 0,947 \Rightarrow \angle A \approx 71,3^\circ$. $\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 71,3^\circ = 63,7^\circ$. **в)** Дано: $b = AC = 0,6 \text{ м}$, $a = BC = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ м} \approx 0,433 \text{ м}$, $\angle C = 150^\circ$. 1. Найдем сторону $c = AB$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ $c^2 = (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + 0,6^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 0,6 \cdot \cos 150^\circ$ $c^2 = \frac{3}{16} + 0,36 - 2 \cdot 0,433 \cdot 0,6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0,1875 + 0,36 + 0,2598 \cdot 1,732 \approx 0,5475 + 0,45 = 0,9975$ $c = AB \approx 0,999 \approx 1 \text{ м}$. 2. Найдем углы: $\sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{0,433 \cdot \sin 150^\circ}{1} = 0,433 \cdot 0,5 = 0,2165 \Rightarrow \angle A \approx 12,5^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 150^\circ - 12,5^\circ = 17,5^\circ$.