6. ABCD — прямоугольник KC = ?

Для решения задач нам потребуются основные формулы геометрии: теорема Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), радиус описанной окружности около треугольника $R = \frac{abc}{4S}$ и свойства прямоугольного треугольника. ### Решение задания 6: В прямоугольнике $ABCD$ дана сторона $BC = 6\sqrt{3}$. Угол $\angle KCB = 15^\circ$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $\angle ABC = 90^\circ$. Из рисунка видно, что $BK \perp KC$ (прямой угол в точке K), тогда $\triangle BKC$ — прямоугольный. В нем $KC = BC \cdot \cos(15^\circ)$. Используем формулу косинуса разности: $\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. $KC = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{18} + 6\sqrt{6}}{4} = \frac{18\sqrt{2} + 6\sqrt{6}}{4} = \frac{9\sqrt{2} + 3\sqrt{6}}{2}$. **Ответ: $\frac{9\sqrt{2} + 3\sqrt{6}}{2}$** ### Решение задания 7: Дан треугольник $ABC$, где $BD \perp AC$, $AB = 13$, $AD = 12$. Радиус описанной окружности $R = 13$. 1. Из прямоугольного $\triangle ABD$: $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$. 2. Формула радиуса $R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S}$. 3. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 5 = 2.5 \cdot AC$. 4. Подставим в формулу: $13 = \frac{13 \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot 2.5 \cdot AC} = \frac{13 \cdot BC}{10}$. 5. $13 = 1.3 \cdot BC \implies BC = 10$. **Ответ: 10** ### Решение задания 8: Дан $\triangle ABC$, высота $BD \perp AC$. $AB = 10$, $BC = 17$, $AD:DC = 2:5$. 1. Из $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 100 - AD^2$. 2. Из $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 - CD^2 = 17^2 - CD^2 = 289 - CD^2$. 3. Приравняем: $100 - AD^2 = 289 - CD^2 \implies CD^2 - AD^2 = 189$. 4. Обозначим $AD = 2x, CD = 5x$. Тогда $(5x)^2 - (2x)^2 = 189 \implies 25x^2 - 4x^2 = 189 \implies 21x^2 = 189 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$. 5. $AD = 6$, $CD = 15$. $AC = 6 + 15 = 21$. 6. $BD^2 = 100 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies BD = 8$. 7. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$. 8. Радиус описанной окружности $R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336} = 10.625$. **Ответ: 10,625**