Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Объем параллелепипеда равен 360. Найдите высоту цилиндра.

1. Так как цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то основание параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна диаметру цилиндра. $d = 2r = 2 \cdot 6 = 12$. Площадь основания $S_{осн} = 12^2 = 144$. Объем параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot H = 360$. Тогда $H = 360 / 144 = 2,5$. Ответ: 2,5. 2. На рисунке изображен сектор круга. Радиус круга $R = 3$ клетки. Площадь полного круга $S = \pi R^2 = 9\pi$. Закрашенная часть — это сектор с центральным углом $90^\circ$ (четверть круга) плюс треугольник. Видно, что треугольник занимает часть сектора. Проще посчитать клетки: 4 полных клетки + 2 половинки = 5 клеток. Закрашенная фигура состоит из сектора в $90^\circ$ и треугольника, опирающегося на 2 клетки по осям. Точнее, это сектор $90^\circ$ (площадь $9\pi/4$) плюс треугольник площадью $0,5 \cdot 2 \cdot 2 = 2$ клетки. Но по клеточкам площадь закрашенной фигуры: 4 полных квадрата + 2 треугольника по 0.5 = 5. Ответ: 5. 3. Основание пирамиды — квадрат со стороной $a=10$. Площадь основания $S_{осн} = 10^2 = 100$. Боковая грань — равнобедренный треугольник со стороной 13 и основанием 10. Высота боковой грани (апофема) $l = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. Площадь одной боковой грани $S_{гр} = 0,5 \cdot 10 \cdot 12 = 60$. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{осн} + 4 \cdot S_{гр} = 100 + 4 \cdot 60 = 340$. Ответ: 340. 4. Площадь ромба $S_{осн} = 0,5 \cdot d_1 \cdot d_2 = 0,5 \cdot 6 \cdot 8 = 24$. Сторона ромба $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Периметр $P = 4 \cdot 5 = 20$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot H = 20 \cdot 10 = 200$. Площадь полной поверхности $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 24 + 200 = 48 + 200 = 248$. Ответ: 248. 5. Объем воды в первом сосуде $V_1 = a^2 \cdot h_1$. Во втором сосуде сторона основания в 3 раза больше, значит, новая сторона $a_2 = 3a$. Объем $V_2 = (3a)^2 \cdot h_2 = 9a^2 \cdot h_2$. Так как объем воды не изменился ($V_1 = V_2$), то $a^2 \cdot 27 = 9a^2 \cdot h_2$. Сокращаем на $a^2$: $27 = 9 \cdot h_2$, откуда $h_2 = 3$. Ответ: 3.