Найдите корень уравнения: а) $\frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18}$

а) Сначала сложим дроби с $x$: $$\frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = \frac{1+4}{9}x = \frac{5}{9}x$$ Теперь переведем смешанное число в неправильную дробь: $$3\frac{1}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{54+1}{18} = \frac{55}{18}$$ Получаем уравнение: $$\frac{5}{9}x = \frac{55}{18}$$ Чтобы найти $x$, нужно разделить правую часть на коэффициент при $x$ (то есть на $\frac{5}{9}$): $$x = \frac{55}{18} : \frac{5}{9}$$ При делении дробей вторая дробь переворачивается, а деление заменяется умножением: $$x = \frac{55}{18} \cdot \frac{9}{5}$$ Сократим дроби (55 и 5 на 5; 18 и 9 на 9): $$x = \frac{\cancel{55}^{11}}{\cancel{18}^2} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{5}^1} = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{11}{2}$$ Можно перевести в десятичную дробь или смешанное число: $$x = 5,5$$ или $$x = 5\frac{1}{2}$$ **Ответ:** $x=5,5$ б) Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Для 7 и 3 это 21. $$\frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y = \frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3}y + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}y = \frac{15}{21}y + \frac{14}{21}y = \frac{15+14}{21}y = \frac{29}{21}y$$ Теперь перенесем число -4 в правую часть уравнения, изменив знак: $$\frac{29}{21}y = \frac{1}{7} + 4$$ Приведем правую часть к общему знаменателю 7: $$\frac{1}{7} + 4 = \frac{1}{7} + \frac{4 \cdot 7}{7} = \frac{1}{7} + \frac{28}{7} = \frac{1+28}{7} = \frac{29}{7}$$ Получаем уравнение: $$\frac{29}{21}y = \frac{29}{7}$$ Чтобы найти $y$, разделим правую часть на коэффициент при $y$: $$y = \frac{29}{7} : \frac{29}{21}$$ Перевернем вторую дробь и умножим: $$y = \frac{29}{7} \cdot \frac{21}{29}$$ Сократим дроби (29 и 29 на 29; 7 и 21 на 7): $$y = \frac{\cancel{29}^1}{\cancel{7}^1} \cdot \frac{\cancel{21}^3}{\cancel{29}^1} = 1 \cdot 3 = 3$$ **Ответ:** $y=3$