Найдите корень уравнения:

а) Чтобы решить уравнение, нужно сначала собрать все слагаемые с переменной $x$ на одной стороне, а числа — на другой. $$ \frac{1}{5}x = \frac{1}{2}x + 6 $$ Вычтем $\frac{1}{2}x$ из обеих частей уравнения: $$ \frac{1}{5}x - \frac{1}{2}x = 6 $$ Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. $$ \frac{2}{10}x - \frac{5}{10}x = 6 $$ Выполним вычитание: $$ -\frac{3}{10}x = 6 $$ Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части на $-\frac{3}{10}$. Это то же самое, что умножить на $-\frac{10}{3}$. $$ x = 6 \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) $$ $$ x = -\frac{60}{3} $$ $$ x = -20 $$ **Ответ: $-20$** б) Сначала соберём все слагаемые с $x$ на одной стороне, а числа — на другой. $$ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}x + 1 $$ Вычтем $\frac{1}{3}x$ из обеих частей уравнения: $$ \frac{1}{4}x - \frac{1}{3}x = 1 $$ Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. $$ \frac{3}{12}x - \frac{4}{12}x = 1 $$ Выполним вычитание: $$ -\frac{1}{12}x = 1 $$ Чтобы найти $x$, умножим обе части на $-12$. $$ x = 1 \cdot (-12) $$ $$ x = -12 $$ **Ответ: $-12$** в) Это пропорция. Чтобы её решить, можно использовать правило крест-на-крест: произведение крайних членов равно произведению средних членов. $$ \frac{8}{y} = \frac{2}{5} $$ $$ 8 \cdot 5 = y \cdot 2 $$ $$ 40 = 2y $$ Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $y$. $$ y = \frac{40}{2} $$ $$ y = 20 $$ **Ответ: $20$** г) Это тоже пропорция. Применим правило крест-на-крест. $$ \frac{3}{4} = \frac{x}{12} $$ $$ 3 \cdot 12 = 4 \cdot x $$ $$ 36 = 4x $$ Теперь разделим обе части на 4, чтобы найти $x$. $$ x = \frac{36}{4} $$ $$ x = 9 $$ **Ответ: $9$**