На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник ABC. Найдите сумму углов ABC и ACB. Ответ дайте в градусах

Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 5 (№ 8026) У нас треугольник $ABC$. По сетке видно, что: 1. $AC$ — диагональ прямоугольника $1 \times 3$, а $BC$ — диагональ прямоугольника $2 \times 1$. 2. Чтобы найти углы, можно воспользоваться тангенсами или заметить, что это прямоугольные треугольники. Угол $C = 90^\circ$ (так как векторы $CA(3, 1)$ и $CB(-1, 2)$ имеют скалярное произведение $3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -3 + 2 = -1 \neq 0$ — стоп, давай по клеткам). 3. Построим векторы: $\vec{CB} = (1, -2)$, $\vec{CA} = (3, 1)$. Это не прямоугольный треугольник. Проще всего здесь использовать теорему косинусов или суммы углов в треугольнике. Сумма углов в любом треугольнике $180^\circ$. Угол $A$ (вершина $A$) лежит напротив стороны $BC$. Угол $B$ — напротив $AC$. Угол $C$ — напротив $AB$. - $AC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$, $AC = \sqrt{10}$. - $BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$, $BC = \sqrt{5}$. - $AB^2 = (1+2)^2 + (3+1)^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, $AB = 5$. - По теореме косинусов для угла $C$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \Rightarrow 25 = 10 + 5 - 2\sqrt{50} \cdot \cos C \Rightarrow 10 = -10\sqrt{2} \cdot \cos C \Rightarrow \cos C = -1/\sqrt{2} \Rightarrow \angle C = 135^\circ$. 4. Сумма углов $ABC + ACB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - (180^\circ - 135^\circ - \angle ABC) = 135^\circ - \angle ABC$? Нет, сумма углов $A+B+C = 180^\circ$, значит $B+C = 180^\circ - A$. - $\angle C = 135^\circ$. - Сумма $B+C$ (углы $ABC$ и $ACB$) = $180^\circ - A$. - $\cos A = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{10 + 25 - 5}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 5} = \frac{30}{10\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. - $\angle A \approx 18.43^\circ$. - Сумма $B+C = 180^\circ - 18.43^\circ = 161.57^\circ$. *Примечание: В подобных задачах часто просят сумму острых углов или углов при основании. Если подразумевается что-то другое, уточни.* **Ответ: 161.57 градусов (приблизительно).** ### Задача 6 (№ 8042) У нас точки $A(0, 1)$, $B(0, 3)$, $C(3, 3)$ (если принять точку $C$ за $(3,3)$). 1. Это прямоугольный треугольник, где угол $B = 90^\circ$. 2. Углы $ABC = 90^\circ$. 3. Угол $CAB$: катет $BC = 3$, катет $AB = 2$. $\tan A = 3/2 = 1.5$. $\angle A = \arctan(1.5) \approx 56.31^\circ$. 4. Сумма $ABC + CAB = 90^\circ + 56.31^\circ = 146.31^\circ$. **Ответ: 146.31 градус.** ### Задача 7 (№ 8058) 1. Стороны: $AC$ — горизонталь $3$, $BC$ — вектор $(1, 3)$, $AB$ — вектор $(-2, 3)$. 2. Это равнобедренный треугольник: $BC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$, $AB^2 = 2^2 + 3^2 = 13$, $AC = 3^2 = 9$ (здесь $AC=3$, $BC=\sqrt{10}$, $AB=\sqrt{13}$). Это не равнобедренный. 3. $\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{9 + 10 - 13}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{6\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. $\angle C \approx 71.57^\circ$. 4. $\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{13 + 10 - 9}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{10}} = \frac{14}{2\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}}$. $\angle B \approx 52.13^\circ$. 5. Сумма $ABC + ACB = 52.13^\circ + 71.57^\circ = 123.7^\circ$. **Ответ: 123.7 градусов.**