Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив предварительно, что ее знаменатель q удовлетворяет условию |q|<1:

Для решения задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию воспользуемся формулой суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии ($|q| < 1$). ### Задание 1 а) $49; 7; 1; \dots$ $b_1 = 49$, $q = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$. Так как $|\frac{1}{7}| < 1$, сумма существует: $S = \frac{49}{1 - 1/7} = \frac{49}{6/7} = \frac{49 \cdot 7}{6} = \frac{343}{6} = 57\frac{1}{6}$. б) $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \dots$ $b_1 = 1$, $q = \frac{1}{3}$. $S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = 1.5$. в) $0,4; -0,04; 0,004; \dots$ $b_1 = 0,4$, $q = -0,1$. $S = \frac{0,4}{1 - (-0,1)} = \frac{0,4}{1,1} = \frac{4}{11}$. г) $\sqrt{5}; 1; \frac{1}{\sqrt{5}}; \dots$ $b_1 = \sqrt{5}$, $q = \frac{1}{\sqrt{5}}$. $S = \frac{\sqrt{5}}{1 - 1/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}} = \frac{5}{\sqrt{5}-1} = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{4} = 1,25(\sqrt{5}+1)$. д) $4\sqrt{2}; 4; 2\sqrt{2}; \dots$ $b_1 = 4\sqrt{2}$, $q = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7$. $S = \frac{4\sqrt{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{16\sqrt{2}+16}{2} = 8\sqrt{2}+8$. е) $\frac{1}{2+\sqrt{2}}; \frac{1}{2}; \frac{1}{4-2\sqrt{2}}; \dots$ $b_1 = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. $q = \frac{1/2}{1/(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} > 1$. Данная прогрессия не является бесконечно убывающей, сумма не существует в рамках условия $|q| < 1$. ### Задание 2 Формула для $b_1$: $b_1 = S(1 - q)$. а) $S=16, q=\frac{1}{4} \Rightarrow b_1 = 16(1 - 0,25) = 16 \cdot 0,75 = 12$. б) $S=81, q=-\frac{1}{9} \Rightarrow b_1 = 81(1 + \frac{1}{9}) = 81 \cdot \frac{10}{9} = 90$. в) $S=4\sqrt{2}+4, q=\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow b_1 = (4\sqrt{2}+4)(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4\sqrt{2} - 2 \cdot 2 + 4 - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. г) $S=3(\sqrt{3}-1), q=\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow b_1 = 3(\sqrt{3}-1)(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 3(\sqrt{3}-1)(\frac{3-\sqrt{3}}{3}) = (\sqrt{3}-1)(3-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3 - 3 + \sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 6$. ### Задание 3 а) $0,(7) = \frac{7}{9}$ б) $0,(28) = \frac{28}{99}$ в) $3,(1) = 3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}$ г) $2,(13) = 2\frac{13}{99} = \frac{211}{99}$ д) $0,6(3) = 0,6 + 0,0(3) = \frac{6}{10} + \frac{3}{90} = \frac{54}{90} + \frac{3}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30}$ е) $0,5(14) = 0,5 + 0,0(14) = \frac{5}{10} + \frac{14}{990} = \frac{495}{990} + \frac{14}{990} = \frac{509}{990}$ ### Задание 4 $q = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $S = \frac{16(4+\sqrt{2})}{7}$. Найдем $b_1 = S(1-q) = \frac{16(4+\sqrt{2})}{7} \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{16(4+\sqrt{2})}{7} \cdot \frac{4-\sqrt{2}}{4} = \frac{4(16-2)}{7} = \frac{4 \cdot 14}{7} = 8$. Третий член $b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 8 \cdot \frac{2}{16} = 1$. **Ответ: 1.** ### Задание 5 Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию. Сторона первого $a_1 = 16$. Так как вершины второго треугольника — середины сторон первого, его сторона $a_2 = \frac{a_1}{2} = 8$. Знаменатель прогрессии периметров $q = \frac{1}{2}$. Периметр первого $P_1 = 3 \cdot 16 = 48$. Сумма периметров $S = \frac{P_1}{1 - q} = \frac{48}{1 - 0,5} = \frac{48}{0,5} = 96$ см. **Ответ: 96 см.**