Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания BC.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Проведенная высота из вершины $C$ к основанию $AD$ делит его на два отрезка. Обозначим основание перпендикуляра как $H$. Так как трапеция равнобедренная, то высота, проведенная из вершины $B$ на $AD$ (обозначим ее $BK$), отсекает отрезок $AK$ такой же длины, как и отрезок от вершины $D$ до $H$ (обозначим его $DH$). Пусть отрезки, на которые высота делит основание $AD$, равны $10$ и $11$. 1. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, отсекает на нем отрезок, равный полуразности оснований: $DH = \frac{AD - BC}{2}$. 2. Очевидно, что $AH = AD - DH = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$. 3. В нашем случае, так как $AD > BC$, отрезок $DH$ будет меньшим из двух отрезков, а отрезок $AH$ — большим. Таким образом: $DH = 10$ (меньший отрезок) $AH = 11$ (больший отрезок) Мы знаем, что $AH = BC + DH$ (так как $ABCD$ — прямоугольник, если опустить две высоты, то отрезок между ними равен $BC$). $11 = BC + 10$ $BC = 11 - 10 = 1$ Ответ: 1