Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно $x$. Так как число двузначное и делится на 5, оно может оканчиваться на 0 или 5. При этом первая цифра не может быть 0 (так как число двузначное). Значит, $x$ может быть: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95. Когда мы приписываем число справа к самому себе, мы по сути умножаем его на 101. Например, если число 25, то приписывание дает 2525, что равно $25 \times 100 + 25 = 25 \times (100 + 1) = 25 \times 101$. Полученное четырехзначное число всегда будет равно $x \times 101$. По условию, это число должно делиться на 11. Так как 101 — простое число и не делится на 11, то само число $x$ должно делиться на 11. Из всех двузначных чисел, которые делятся на 5 (оканчиваются на 0 или 5), единственное число, которое делится еще и на 11 — это 55. Проверим: Если задумали 55, приписываем еще 55, получаем 5555. $5555 / 11 = 505$. Число делится на 11. **Ответ: 55**