12. Постройте график функции y = {x^2+4x+1, если x >= -5, -45/x, если x < -5. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну общую точку.

Для решения задачи построим график функции: 1. На промежутке $x \ge -5$: график функции $y = x^2 + 4x + 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. - Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2$. - $y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. Вершина в точке $(-2; -3)$. - Точка при $x = -5$: $y = (-5)^2 + 4 \cdot (-5) + 1 = 25 - 20 + 1 = 6$. 2. На промежутке $x < -5$: график функции $y = -\frac{45}{x}$ — это часть гиперболы. - При $x = -5$: $y = -\frac{45}{-5} = 9$. Точка $(-5; 9)$ — «выколотая», так как условие строгое ($x < -5$). - При приближении $x \to -\infty$, $y \to 0$. При $x \to 0$ (слева), $y \to +\infty$. Анализ количества точек пересечения с прямой $y=m$: - $m < -3$: 0 точек. - $m = -3$: 1 общая точка (вершина параболы). - $-3 < m < 6$: 2 общие точки. - $m = 6$: 1 общая точка (точка $(-5; 6)$ входит в область, при $x=-5$, гипербола не определена). - $6 < m < 9$: 1 общая точка (только на гиперболе). - $m \ge 9$: 0 точек (так как при $x < -5$, $y$ принимает значения от $0$ до $9$, причем $9$ — это значение в "выколотой" точке). Значит, прямая $y=m$ имеет одну общую точку при $m = -3$ и при $6 \le m < 9$. **Ответ: $m \in \{-3\} \cup [6; 9)$** :::div .chart-container @chart-1:::