В парке длина беговой дорожки составляет 500 метров. Из противоположных концов дорожки одновременно вышли танцор и бегун. Танцор движется со скоростью 1 м/с, а бегун — со скоростью 2 м/с. Какое расстояние будет между ними через 5 минут? Найдите все возможные варианты.

Дано: Длина дорожки $S = 500$ м. Скорость танцора $v_1 = 1$ м/с. Скорость бегуна $v_2 = 2$ м/с. Время $t = 5$ мин = $300$ с. За время $t$ танцор пробежит путь $S_1 = v_1 \cdot t = 1 \cdot 300 = 300$ м. Бегун пробежит путь $S_2 = v_2 \cdot t = 2 \cdot 300 = 600$ м. Так как они вышли из противоположных концов, можно считать, что они движутся навстречу друг другу. Расстояние между ними будет зависеть от того, пересеклись ли они и сколько раз они могли пробежать по кругу. 1. Суммарный путь, который они преодолели вместе, равен $S_1 + S_2 = 300 + 600 = 900$ м. 2. Так как они движутся навстречу, они встретятся в точке, когда суммарный путь составит $500$ м (длина дорожки). $900 - 500 = 400$ м они проехали после встречи. 3. Поскольку дорожка замкнутая, рассмотрим их положения относительно друг друга: - Бегун пробежал $600$ м, это один полный круг ($500$ м) и еще $100$ м. Он находится в $100$ метрах от начала своего пути. - Танцор пробежал $300$ м. Он находится в $300$ метрах от начала своего пути (в противоположную сторону). Начальные точки были на расстоянии $500$ м друг от друга. Бегун сместился на $100$ м вперед, танцор — на $300$ м вперед. Возможные варианты расстояния: - Если они бегут «навстречу» друг другу по прямой (не учитывая замкнутость, как если бы это был отрезок): они встретились через $500 / (1+2) = 166.6$ с. После встречи они разминулись и расстояние между ними стало $|(S_1 + S_2) - S| = |900 - 500| = 400$ м. - Так как дорожка — это кольцо, то расстояние между ними может быть равно $400$ м или $500 - 400 = 100$ м. **Ответ:** Расстояние между ними составляет 100 метров или 400 метров.