Окружность высекает на сторонах угла равные хорды. Докажите, что её центр лежит на биссектрисе этого угла.

Question

Вопрос:

Окружность высекает на сторонах угла равные хорды. Докажите, что её центр лежит на биссектрисе этого угла.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть дан угол с вершиной $O$, а окружность пересекает его стороны в точках $A, B$ на одной стороне и $C, D$ на другой так, что хорды равны: $AB = CD$. Пусть $M$ — центр окружности. 1. Проведем перпендикуляры из центра $M$ к сторонам угла: $MH \perp OA$ (где $H$ лежит на $OA$) и $MK \perp OC$ (где $K$ лежит на $OC$). 2. Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Однако здесь проще использовать свойство расстояния от центра до равных хорд. 3. Свойство: Если хорды окружности равны, то они равноудалены от центра. Значит, $MH = MK$. 4. Точка $M$, равноудаленная от сторон угла, по теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных от сторон угла, лежит на его биссектрисе. **Ответ:** Центр окружности $M$ лежит на биссектрисе угла, так как он равноудален от сторон угла, на которых лежат равные хорды.

Окружность высекает на сторонах угла равные хорды. Докажите, что её центр лежит на биссектрисе этого угла.

Ответ ассистента

Другие решения