Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами сечения цилиндра. 1. Пусть высота цилиндра $H = 12$ см, а радиус основания $R = 10$ см. 2. Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($H = 12$ см), а другая — хорде $AB$, отсекаемой плоскостью в основании цилиндра. 3. По условию в сечении получился квадрат. Значит, сторона хорды также равна высоте цилиндра: $AB = H = 12$ см. 4. Рассмотрим основание цилиндра. Пусть $O$ — центр основания, $AB$ — хорда, $M$ — середина хорды $AB$. Отрезок $OM$ — это расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости (искомая величина $d$). 5. Радиус $OA = R = 10$ см. Так как $OM$ — перпендикуляр к хорде, то треугольник $OAM$ — прямоугольный ($AM = AB / 2 = 12 / 2 = 6$ см). 6. По теореме Пифагора в треугольнике $OAM$: $OA^2 = OM^2 + AM^2$ $10^2 = d^2 + 6^2$ $100 = d^2 + 36$ $d^2 = 64$ $d = 8$ см. Ответ: 8 см.