Дано: ABCD-прямоуг., AD=10, AOB=120. Найти: AO=?

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника и треугольников, образованных его диагоналями. 1. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его диагонали $AC$ и $BD$ равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$. Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. 2. Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Поскольку сумма углов $\angle AOB$ и $\angle AOD$ равна $180^\circ$ (смежные углы), то $\angle AOD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 3. В треугольнике $\triangle AOD$ стороны $AO = OD$ (диагонали делятся пополам), значит, он равнобедренный. Так как угол при вершине $\angle AOD = 60^\circ$, остальные углы равны: $\angle OAD = \angle ODA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. 4. Получается, что треугольник $\triangle AOD$ — равносторонний. Следовательно, $AO = OD = AD = 10$. **Ответ: 10.**