1) Решите уравнение sqrt(2) tg x = -2 sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi; -3pi/2].

1) Решение уравнения $\sqrt{2} \operatorname{tg} x = -2 \sin x$. ОДЗ: $\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Распишем тангенс: $\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} = -2 \sin x$ $\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} + 2 \sin x = 0$ $\sin x \left( \frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2 \right) = 0$ Отсюда два случая: 1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2. $\frac{\sqrt{2}}{\cos x} = -2 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) Найдем корни на отрезке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$. Для $x = \pi k$: При $k = -3: x = -3\pi$ (входит) При $k = -2: x = -2\pi$ (входит) При $k = -1: x = -\pi$ (не входит) Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: При $n = -1: x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} = -1.25\pi$ (не входит, так как $-1.25\pi > -1.5\pi$) Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: При $n = 0: x = -\frac{3\pi}{4}$ (не входит) При $n = -1: x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} = -2.75\pi$ (входит, так как $-3\pi \le -2.75\pi \le -1.5\pi$) Ответ: 1) $\pi k, \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; 2) $-3\pi, -2.75\pi, -2\pi$.