решите уравнение 8 sin^2 (7п/12 + x) - 2корень(3) cos 2x = 5

Решим уравнение: $8 \sin^2\left(\frac{7\pi}{12} + x\right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ 1. Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $8 \cdot \frac{1 - \cos(2(\frac{7\pi}{12} + x))}{2} - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4(1 - \cos(\frac{7\pi}{6} + 2x)) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 - 4\cos(\frac{7\pi}{6} + 2x) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ 2. Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $\cos(\frac{7\pi}{6} + 2x) = \cos\frac{7\pi}{6} \cos 2x - \sin\frac{7\pi}{6} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x - (-\frac{1}{2}) \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x$ 3. Подставим обратно: $4 - 4(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 + 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 - 2 \sin 2x = 5$ $-2 \sin 2x = 1$ $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ 4. Решим простейшее уравнение: $2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 5. Найдем корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$, то есть $[-3.5\pi; -2.5\pi]$: При $k = -2$: $x_1 = -\frac{\pi}{12} - 2\pi = -\frac{25\pi}{12} \approx -2.08\pi$ (не входит) $x_2 = -\frac{5\pi}{12} - 2\pi = -\frac{29\pi}{12} \approx -2.41\pi$ (не входит) При $k = -3$: $x_1 = -\frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{37\pi}{12} \approx -3.08\pi$ (входит) $x_2 = -\frac{5\pi}{12} - 3\pi = -\frac{41\pi}{12} \approx -3.41\pi$ (входит) **Ответ: $-\frac{37\pi}{12}; -\frac{41\pi}{12}$**