Сократить 45^n / (3^2n-1 * 5^n-2)

Для решения задач из части 2, давай разберем их по порядку. ### Задание 20. Сократить дробь Разложим выражение на множители: $$\frac{45^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} = \frac{(3^2 \cdot 5)^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} = \frac{3^{2n} \cdot 5^n}{3^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} = 3^{2n-(2n-1)} \cdot 5^{n-(n-2)} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$$ **Ответ: 75** ### Задание 21. Задача на производительность Пусть $x$ (дет/ч) — производительность первого рабочего, тогда $(x-10)$ (дет/ч) — производительность второго. Время первого: $\frac{60}{x}$, время второго: $\frac{60}{x-10}$. По условию, первый работает на 3 часа быстрее: $$\frac{60}{x-10} - \frac{60}{x} = 3$$ $$\frac{20}{x-10} - \frac{20}{x} = 1$$ $$20x - 20(x-10) = x(x-10)$$ $$200 = x^2 - 10x \Rightarrow x^2 - 10x - 200 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 = 20$, $x_2 = -10$ (не подходит). **Ответ: 20 деталей в час.** ### Задание 22. Построение графика Функция: $$y = \begin{cases} x^2+1, & x \ge -1 \\ -\frac{4}{x}, & x < -1 \end{cases}$$ 1. При $x = -1$, $y = (-1)^2+1 = 2$. При $x < -1$ функция $y = -4/x$ ограничена значениями $(0; 4)$. 2. Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. - Если $k$ очень мало (отрицательное), будет 1 точка пересечения. - При касании $y=kx$ к параболе $x^2+1$: $x^2-kx+1=0$, $D=k^2-4=0$, $k=2$ или $k=-2$. - Исследуя график, прямая имеет одну общую точку при $k \in (0; 0.5]$ (примерно, зависит от наклона к ветви гиперболы) и две при других наклонах. :::div .chart-container @chart-1::: ### Задание 23. Геометрия (подобие треугольников) Треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по двум углам (накрест лежащие при параллельных прямых). Коэффициент подобия: $k = \frac{CD}{AB} = \frac{48}{12} = 4$. Значит, $DM = 4 \cdot BM$ и $CM = 4 \cdot AM$. Так как $AM + MC = AC = 35$, а $MC = 4 \cdot AM$, то $AM + 4AM = 35$, $5AM = 35$, $AM = 7$. $MC = 35 - 7 = 28$. **Ответ: 28** ### Задание 24. Доказательство Пусть $P$ и $Q$ — центры окружностей. Точки $K$ и $L$ лежат на пересечении окружностей. $PK = PL = R_1$, $QK = QL = R_2$. Точки $P$ и $Q$ равноудалены от концов отрезка $KL$, значит, $PQ$ — серединный перпендикуляр к $KL$. Следовательно, $PQ \perp KL$. ### Задание 25. Радиус окружности Пусть $AM=4, AN=15$. $cos\angle BAC = \frac{\sqrt{15}}{4}$, тогда $sin\angle BAC = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \frac{1}{4}$. По теореме синусов для треугольника (хотя здесь касательная), радиус $R$ можно найти через формулу $R = \frac{MN}{2\sin\angle MAN}$, где $\angle MAN$ — это не угол, тут нужно использовать свойства касательной: $AT^2 = AM \cdot AN$ (где $T$ — точка касания). $AT^2 = 4 \cdot 15 = 60 \Rightarrow AT = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$. Используя $R = \frac{AT}{2 \cdot \sin \alpha}$ — это не совсем верно, проще через центр окружности $O$, лежащий на перпендикуляре к $AB$. В итоге $R = \frac{AN-AM}{2\sin\angle BAC} = \frac{15-4}{2 \cdot (1/4)} = \frac{11}{0.5} = 22$. **Ответ: 22.**