Итоговая контрольная работа по алгебре 8 класс

1. Сократите дробь: $\frac{36x^{-2}y^{10}}{24x^{14}y^5} = \frac{36}{24} \cdot x^{-2-14} \cdot y^{10-5} = 1.5 \cdot x^{-16} \cdot y^5 = \frac{1.5y^5}{x^{16}}$ 2. Представьте в виде степени: $(c^{-5})^3 : c^{-19} = c^{-5 \cdot 3} : c^{-19} = c^{-15} : c^{-19} = c^{-15 - (-19)} = c^{-15 + 19} = c^4$ 3. Упростите выражение: $\sqrt{49x} - \sqrt{4x} + \sqrt{169x} = 7\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + 13\sqrt{x} = (7 - 2 + 13)\sqrt{x} = 18\sqrt{x}$ 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{x+6}{2x^2 - 3x - 2}$: Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен 0. $2x^2 - 3x - 2 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$, $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0.5$ Ответ: при всех $x$, кроме $x = 2$ и $x = -0.5$. 5. Докажите тождество: $\left(\frac{3b}{b-2} - \frac{6b}{b^2 - 4b + 4}\right) : \frac{b-4}{b^2 - 4} - \frac{2b^2 + 8b}{b-2} = b$ $\left(\frac{3b}{b-2} - \frac{6b}{(b-2)^2}\right) : \frac{b-4}{(b-2)(b+2)} - \frac{2b(b+4)}{b-2} = b$ $\left(\frac{3b(b-2) - 6b}{(b-2)^2}\right) : \frac{b-4}{(b-2)(b+2)} - \frac{2b(b+4)}{b-2} = b$ $\frac{3b^2 - 6b - 6b}{(b-2)^2} \cdot \frac{(b-2)(b+2)}{b-4} - \frac{2b(b+4)}{b-2} = b$ $\frac{3b^2 - 12b}{(b-2)^2} \cdot \frac{(b-2)(b+2)}{b-4} - \frac{2b(b+4)}{b-2} = b$ $\frac{3b(b-4)}{(b-2)} \cdot \frac{(b+2)}{(b-4)} - \frac{2b(b+4)}{b-2} = b$ $\frac{3b(b+2) - 2b(b+4)}{b-2} = \frac{3b^2 + 6b - 2b^2 - 8b}{b-2} = \frac{b^2 - 2b}{b-2} = \frac{b(b-2)}{b-2} = b$. Тождество доказано. 6. Задача на движение (работа): Пусть $x$ — грузоподъемность первого авто, тогда $(x+2)$ — второго. $\frac{30}{x} - \frac{30}{x+2} = 4$ $30(x+2) - 30x = 4x(x+2)$ $30x + 60 - 30x = 4x^2 + 8x$ $4x^2 + 8x - 60 = 0$ $x^2 + 2x - 15 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -5$ (не подходит), $x_2 = 3$. Грузоподъемность второго авто $3 + 2 = 5$ т. Ответ: 5 т. 7. Докажите, что $x^2 + 2px + p^2 - 1 = 0$ имеет два корня: Дискриминант $D = (2p)^2 - 4(1)(p^2 - 1) = 4p^2 - 4p^2 + 4 = 4$. Так как $D = 4 > 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет два корня. 8. Постройте график функции: :::div .chart-container @chart-1:::