№5. Дано: правильная призма, AE = 4√3, A₁E = 8. Найдите Sбок.

Дано: правильная шестиугольная призма. AE = $4\sqrt{3}$, $A_1E = 8$. Найдите $S_{бок}$. 1. Найдем высоту призмы $h = AA_1$. Из прямоугольного треугольника $AA_1E$ по теореме Пифагора: $h^2 = A_1E^2 - AE^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 16 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$. $h = 4$. 2. Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Отрезок $AE$ — это большая диагональ шестиугольника (так как вершины идут $A, B, C, D, E, F$, то $AE$ соединяет вершины через одну, это не диаметр, а диагональ через центр, если $AE$ — главная диагональ шестиугольника, но здесь $AE$ соединяет 1-ю и 5-ю вершину. Сторона $a = AB$. Тогда $AE$ в правильном шестиугольнике равна $a\sqrt{3}$? Нет, расстояние $AE$ в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равно $a\sqrt{3}$ только если это диагональ через две стороны ($AC$). Диагональ $AE$ — это отрезок, соединяющий вершины $A$ и $E$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ диагональ $AE$ равна $a\sqrt{3}$ (это хорда, отсекающая одну вершину $F$). Действительно, в $\triangle AFE$: $AF=a$, $EF=a$, $\angle F = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AE^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos 120^\circ = 2a^2 - 2a^2(-0.5) = 3a^2$, откуда $AE = a\sqrt{3}$. 3. По условию $AE = 4\sqrt{3}$, значит $a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$, откуда сторона основания $a = 4$. 4. Периметр основания $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24$. 5. Боковая площадь $S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot 4 = 96$. **Ответ: 96**