1. Дана окружность с центром в точке О и радиусом ОА = 2. Найдите диаметр окружности.

### Решение: **1.** Диаметр окружности ($D$) равен удвоенному радиусу ($R$). $D = 2 \cdot R = 2 \cdot 2 = 4$. **Ответ: 4.** **2.** Рассмотрим $\triangle OBC$. Так как $OB$ и $OC$ — радиусы, то $\triangle OBC$ равнобедренный ($OB = OC$). Следовательно, углы при основании равны: $\angle OCB = \angle OBC = 34^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, тогда $\angle BOC = 180^\circ - (34^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$. Угол $\angle MCO$ и $\angle OCB$ вместе образуют угол $\angle MCB$. Угол $\angle MCB$ опирается на диаметр $MB$, поэтому $\angle MCB = 90^\circ$. Значит, $\angle MCO = \angle MCB - \angle OCB = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$. **Ответ: 56^\circ.** **3.** Прямая $KE$ касается окружности в точке $E$, значит, радиус $OE \perp KE$. Угол $\angle OEK = 90^\circ$. Угол $\angle KEP = 136^\circ$. Угол $\angle OEP$ (если $P$ лежит на касательной) — развернутый, либо просто заметим, что $\angle OEK = 90^\circ$, а $\angle KEP = 136^\circ$. Угол $\angle OEP = 136^\circ - 90^\circ = 46^\circ$. На самом деле, проще: угол $\angle OEK = 90^\circ$. Угол $\angle OEP = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$ (смежный к $KEP$). Тогда $\angle OEO = \angle OEK - \angle OEP$ (тут $P$ внутри угла $KEP$ — это странно, но суть в том, что радиус перпендикулярен касательной). Разберем проще: $\angle OEK = 90^\circ$. $\angle KEP = 136^\circ$. Угол между радиусом и частью касательной равен $136^\circ - 90^\circ = 46^\circ$. В треугольнике $OEC$ (равнобедренном) $\angle OEC = 46^\circ$. Тогда $\angle COE = 180^\circ - 46^\circ - 46^\circ = 88^\circ$. **Ответ: 88^\circ.** **4.** Пусть стороны треугольника $AB=BC=x$, $AC=y$. Точка касания делит боковую сторону на отрезки $6k$ и $5k$. Сторона равна $11k$. Периметр $P = 11k + 11k + y = 68$. Отрезок от вершины до точки касания равен $6k$ (от вершины угла при основании). По свойству касательных, отрезок от вершины до точки касания на основании равен $6k$, и на второй боковой стороне тоже $6k$. Сторона основания $12k$, боковая сторона $11k$. $2 \cdot 11k + 12k = 68 \Rightarrow 34k = 68 \Rightarrow k = 2$. Боковая сторона $11 \cdot 2 = 22$, основание $12 \cdot 2 = 24$. **Ответ: 22, 22, 24.** **5.** В $\triangle MPF$ (прямоугольный): $\angle MFP = 30^\circ$. По свойствам: $MP = MF \cdot \sin(30^\circ) = 0.5 \cdot MF$. Также $PF = MF \cdot \cos(30^\circ) = MF \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Аналогично в $\triangle KTF$ (прямоугольный, $\angle KFT = \angle MFP = 30^\circ$ как вертикальные): $KT = KF \cdot \sin(30^\circ) = 0.5 \cdot KF$. $MK = MF + KF = 22$. Сумма $MP + KT = 0.5(MF + KF) = 0.5 \cdot 22 = 11$. **Ответ: 11.**