Билет 10. 1. Определение остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольника. Стороны прямоугольного треугольника.

Привет! Давай разберем задания из 10 билета. Если нужно решить что-то другое, просто напиши. ### Билет 10 **1. Определение остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольника. Стороны прямоугольного треугольника** * **Остроугольный треугольник** — треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^{\circ}$). * **Прямоугольный треугольник** — треугольник, у которого один угол прямой ($90^{\circ}$). * **Тупоугольный треугольник** — треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^{\circ}$). * **Стороны прямоугольного треугольника**: стороны, образующие прямой угол, называются *катетами*, а сторона, лежащая напротив прямого угла — *гипотенузой*. **3. Решение задачи** Дано: $\angle AOB = 110^{\circ}$, $\angle AOC = \angle BOC - 30^{\circ}$. Пусть $\angle BOC = x$, тогда $\angle AOC = x - 30^{\circ}$. Так как $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$: $x + (x - 30^{\circ}) = 110^{\circ}$ $2x = 140^{\circ}$ $x = 70^{\circ}$ (это $\angle BOC$) Тогда $\angle AOC = 70^{\circ} - 30^{\circ} = 40^{\circ}$. **Ответ:** $\angle AOC = 40^{\circ}$, $\angle COB = 70^{\circ}$. **4. Решение задачи** Пусть углы прямоугольного треугольника равны $90^{\circ}$, $\alpha$ и $\beta$. Биссектриса делит прямой угол на $45^{\circ}$ и $45^{\circ}$, или биссектриса наименьшего острого угла делит его пополам. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший острый угол $90^{\circ} - x$. Биссектриса меньшего угла делит его на части по $x/2$. В треугольнике, образованном биссектрисой, катетом и гипотенузой, углы равны $x/2$, $90^{\circ}$ и $180^{\circ} - (90^{\circ} + x/2) = 90^{\circ} - x/2$. Разность углов: $(90^{\circ} - x/2) - x/2 = 20^{\circ}$ или $(90^{\circ} - x/2) - (90^{\circ} - x) = 20^{\circ}$. Решим уравнение: $90 - x/2 - x/2 = 20 \Rightarrow 90 - x = 20 \Rightarrow x = 70^{\circ}$ (не подходит, так как $x$ - меньший угол). Значит, $(90^{\circ} - x/2) - x/2 = 20^{\circ}$ не подходит, проверим второе условие: $\angle$ между катетом и биссектрисой $90^{\circ}$ и $90^{\circ} - x/2$. Разность между $90^{\circ} - x/2$ и $x/2$ (это углы с катетом): $(90^{\circ} - x/2) - x/2 = 20^{\circ} \Rightarrow 90 - x = 20 \Rightarrow x = 70^{\circ}$ (опять не подходит). Вернемся к условию: биссектриса наименьшего угла образует с катетом углы, разность которых $20^{\circ}$. Пусть меньший угол $x$. Биссектриса делит его на $x/2$. Углы с катетом $90^{\circ}$ и $90-x/2$. $90 - x/2 - x/2 = 20$ (неверно). $90 - x/2 - (90-x) = 20 \Rightarrow x/2 = 20 \Rightarrow x = 40^{\circ}$. Второй острый угол $90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. **Ответ:** $40^{\circ}$ и $50^{\circ}$.