1. На рис. 183 AB=BC, ∠B=42°.

Привет! Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 1 Дано: $\triangle ABC$, $AB=BC$, $\angle B = 42^{\circ}$. Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, значит углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ $2\angle A + 42^{\circ} = 180^{\circ}$ $2\angle A = 138^{\circ}$ $\angle A = 69^{\circ}$ Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle C = 69^{\circ}$. **Ответ:** $\angle A = 69^{\circ}$, $\angle C = 69^{\circ}$. ### Задача 2 Пусть тупоугольный треугольник $ABC$ имеет тупой угол $B$. Высота $BH$ опущена на основание $AC$. Она делит угол $B$ на части, но в условии сказано: высота к основанию образует с боковыми сторонами углы $14^{\circ}$ и $38^{\circ}$. Это возможно, если высота лежит вне треугольника. В прямоугольных треугольниках $BHA$ и $BHC$: 1. $\angle A = 90^{\circ} - 14^{\circ} = 76^{\circ}$. 2. $\angle C = 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ}$. 3. Третий угол $\angle ABC = 180^{\circ} - (76^{\circ} + 52^{\circ}) = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$. **Ответ:** Углы треугольника $76^{\circ}, 52^{\circ}, 52^{\circ}$. ### Задача 3 Дано: $OC \perp AB$, $OC = 20$ см, $\angle OAB = 45^{\circ}$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как $OA=OB$ (радиусы). В нем $OC$ — высота, биссектриса и медиана. В $\triangle AOC$: $\angle OCA = 90^{\circ}$, $\angle OAC = 45^{\circ}$, значит $\angle AOC = 45^{\circ}$. Треугольник $AOC$ — равнобедренный прямоугольный, значит $AC = OC = 20$ см. Так как $OC$ — медиана, $AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 20 = 40$ см. **Ответ:** 40 см. ### Задача 4 Доказательство: Пусть есть два прямоугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с гипотенузами $AC=A_1C_1$ и высотами к гипотенузе $BH=B_1H_1$. В $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ (прямоугольные): $\sin \angle A = \frac{BH}{AB}$, $\sin \angle A_1 = \frac{B_1H_1}{A_1B_1}$. Используя признаки равенства, можно показать, что треугольники равны, так как можно построить их по гипотенузе и катету-высоте, откладывая отрезки на лучах. ### Задача 5 Построение: 1. Проведи прямую и отметь на ней точку $H$. 2. Построй перпендикуляр через $H$ и отложи на нем отрезок $BH$, равный заданной высоте. 3. От точки $B$ под заданным углом к $BH$ проведи лучи до пересечения с прямой (получишь точки $A$ и $C$). 4. Соедини $A, B$ и $C$.