3) f(x) = x^4/2 - 4x^2;

Для исследования функций $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$ и $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$ стандартный алгоритм включает: нахождение области определения, проверку на четность/нечетность, поиск точек пересечения с осями, нахождение производной, критических точек, промежутков монотонности и экстремумов. ### Исследование функции 3) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2$ 1. **Область определения**: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Четность**: $f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^4 - 4(-x)^2 = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Пересечение с осями**: - С осью $Oy$: $f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $\frac{1}{2}x^4 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2}x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x=0; x^2=8 \Rightarrow x= \pm 2\sqrt{2}$. Точки $(0;0), (2\sqrt{2};0), (-2\sqrt{2};0)$. 4. **Производная и экстремумы**: $f'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x-2)(x+2)$. Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$. - Минимумы: $x = \pm 2$. $f(2) = \frac{16}{2} - 16 = -8$. Точки $(2; -8), (-2; -8)$. - Максимум: $x=0$. $f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$. ### Исследование функции 4) $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7$ 1. **Область определения**: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Четность**: $f(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 7 = -x^4 + 8x^2 - 7 = f(x)$. Функция четная. 3. **Пересечение с осями**: - С осью $Oy$: $f(0) = -7$. Точка $(0; -7)$. - С осью $Ox$: $-x^4 + 8x^2 - 7 = 0 \Rightarrow x^4 - 8x^2 + 7 = 0$. Пусть $t=x^2$. $t^2 - 8t + 7 = 0$. Корни по теореме Виета $t_1=1, t_2=7$. $x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$. $x^2=7 \Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$. Точки: $(\pm 1; 0), (\pm \sqrt{7}; 0)$. 4. **Производная и экстремумы**: $f'(x) = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$. Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$. - Максимумы: $x = \pm 2$. $f(2) = -16 + 32 - 7 = 9$. Точки $(2; 9), (-2; 9)$. - Минимум: $x=0$. $f(0) = -7$. Точка $(0; -7)$.