Вопрос:

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $DD_1 = 1$, $CD = 2$, $AD = 2$. Найдите длину диагонали $CA_1$.

Фотография

Ответ ассистента

### Задача 1 В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: $CA_1^2 = AC^2 + CC_1^2$ Так как $AC$ — диагональ основания, то $AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$. $CC_1 = DD_1 = 1$. $CA_1^2 = 8 + 1^2 = 9$. $CA_1 = \sqrt{9} = 3$. **Ответ: 3** ### Задача 2 Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $h$ — высота. Основание — правильный шестиугольник со стороной 5, значит, периметр $P = 6 \cdot 5 = 30$. $S_{бок} = 30 \cdot 10 = 300$. **Ответ: 300** ### Задача 3 В правильной четырехугольной пирамиде $ABCD$ основание — квадрат. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. $OD = BD / 2 = 16 / 2 = 8$. Треугольник $SOD$ — прямоугольный ($\angle SOD = 90^\circ$), где $SO$ — высота, $OD$ — катет, $SD$ — гипотенуза. $SD = \sqrt{SO^2 + OD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, поэтому $SA = SD = 17$. **Ответ: 17** ### Задача 4 В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник со стороной $a = AB = 5$. Площадь боковой поверхности состоит из трех равных треугольников: $S_{бок} = 3 \cdot S_{\Delta SAC}$. Высота боковой грани ($SL$) уже дана как апофема, так как $L$ — середина $AC$ (значит $SL \perp AC$). $S_{\Delta SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SL = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$. $S_{бок} = 3 \cdot 15 = 45$. **Ответ: 45**

Другие решения

Что ещё задавали пользователи